1.В прямоугольном параллелепипеде АВ=9. ВВ1 =8. АD = 12. Найди диагональ четырехугольника ВВ1D1. 2.Угол между наклонной и плоскостью составляет 60°. Найди длину проекции наклонной на плоскость, если длина наклонной равна 6.
3.Дан куб, все ребра которого равны 1. Найди угол между плоскостями АВС и СА1D.

1. Для нахождения диагонали четырехугольника ВВ1D1 в прямоугольном параллелепипеде нам необходимо использовать теорему Пифагора.
В данном случае, у нас есть сторона ВВ1, равная 8, и сторона АD, равная 12. Найдем длину диагонали АВ1, обозначим ее как х.

Применяя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ВВ1D1, получим:
ВВ1^2 + В1D1^2 = ВВ1D1^2.

Подставляем известные значения:
8^2 + х^2 = ВВ1D1^2.

Раскрываем скобки:
64 + х^2 = ВВ1D1^2.

Также нам дано, что АВ = 9, поэтому ВД1 = АВ - ВВ1 = 9 - 8 = 1.
ВД1^2 = 1^2 = 1.

Теперь можем использовать определение диагонали четырехугольника.
ВВ1D1^2 = ВВ1^2 + В1D1^2
ВВ1D1^2 = 8^2 + 1^2 = 64 + 1 = 65.

Таким образом, у нас имеется следующее уравнение:
64 + х^2 = 65.

Вычитаем 64 из обеих частей уравнения:
х^2 = 65 - 64 = 1.

Для нахождения х извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
х = √1 = 1.

Следовательно, диагональ четырехугольника ВВ1D1 равна 1.

2. Для нахождения длины проекции наклонной на плоскость, если длина наклонной равна 6 и угол между наклонной и плоскостью составляет 60°, нам понадобится использовать тригонометрию.
В данном случае, у нас имеется прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна длине наклонной, а угол между наклонной и плоскостью является прямым углом.

Для нахождения длины проекции наклонной на плоскость нам необходимо найти катет прямоугольного треугольника.
Используя теорему Пифагора, получим:
катет^2 + катет^2 = гипотенуза^2.

Подставляем известные значения:
катет^2 + катет^2 = 6^2.

Упростим уравнение:
2 * катет^2 = 36.

Делим обе части уравнения на 2:
катет^2 = 18.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:
катет = √18.

Упрощаем под корнем:
катет = √(9 * 2) = √9 * √2 = 3 * √2.

Следовательно, длина проекции наклонной на плоскость равна 3 * √2.

3. Для нахождения угла между плоскостями АВС и СА1D в данном кубе нам понадобится использовать знания о свойствах параллелограмма и геометрических формул.
Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями. Нормаль плоскости - это вектор, перпендикулярный плоскости.
Для нахождения этого угла, нам необходимо найти нормали к плоскостям АВС и СА1D.

Найдем векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости АВС.
Возьмем два таких вектора, например, АВ (0, 1, 0) и АС (1, 0, 0).
Выполним векторное произведение:
АВ х АС = (0, 1, 0) х (1, 0, 0) = (0 * 0 - 1 * 1, 0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 1 * 0) = (-1, 0, 0).

Получили, что нормаль к плоскости АВС равна (-1, 0, 0).

Далее, найдем векторное произведение для плоскости СА1D.
Возьмем два вектора, например, СА1 (0, 1, -1) и СD (1, 0, 0).
Выполним векторное произведение:
СА1 х СD = (0, 1, -1) х (1, 0, 0) = (0 * 0 - 1 * 0, -1 * 0 - 0 * (-1), 0 * (-1) - (-1) * 0) = (0, 0, 0).

Получили, что нормаль к плоскости СА1D равна (0, 0, 0).

Учитывая, что нормаль к плоскости СА1D равна нулевому вектору, угол между плоскостями АВС и СА1D равен нулю.

Следовательно, угол между плоскостями АВС и СА1D в данном кубе равен нулю.