1.В прямоугольнике АВСД, АВ=4, АД=6. Найти длину вектора АС.

2.В квадрате АВСД, М- середина стороны АВ, К- середина стороны СД. Являются ли векторы МК и СВ коллинеарными. ответ обоснуйте.

3. В прямоугольном, равнобедренном треугольнике АВС, угол С – прямой. Точка О- середина гипотенузы.

а) Найти все равные векторы и выписать их.

б) Найти длину вектора СО, если АВ=6 см.

1. Для нахождения длины вектора AC нужно использовать теорему Пифагора. По определению, длина вектора AC равна корню из суммы квадратов координат его концов. В данном случае, вектор AC идет от точки A к точке C, поэтому его координаты можно найти вычитанием координат точки A из координат точки C. Координаты точки A: A(0, 0), координаты точки C: C(4, 6). Тогда вектор AC имеет координаты (4 - 0, 6 - 0) = (4, 6). Теперь мы можем использовать теорему Пифагора:
|AC| = √((4^2) + (6^2)) = √(16 + 36) = √52 = 2√13.
Таким образом, длина вектора AC равна 2√13.

2. Векторы МК и СВ являются коллинеарными, если они параллельны друг другу или сонаправлены. Чтобы проверить это, нужно найти координаты векторов МК и СВ. Пусть вершица квадрата АВСД имеет координату (0, 0), тогда координаты точки М(2, 0) и К(0, 2). Вектор МК имеет координаты (0 - 2, 2 - 0) = (-2, 2). Вектор СВ имеет координаты (0 - 0, 2 - 0) = (0, 2).
Так как координаты вектора МК и СВ не совпадают и не параллельны, то они не коллинеарны.

3. а) В равнобедренном прямоугольном треугольнике, средняя линия треугольника параллельна гипотенузе и равна половине её длины. В данном случае, точка О является серединной точкой гипотенузы. Значит, вектор ОА = вектор ОВ, так как противоположные стороны прямоугольника АБСД равны по длине и параллельны. А также вектор ОВ = вектор ОС, так как С - также серединная точка гипотенузы. Теперь мы можем уже выписать все равные векторы: ОА = ОВ, ОВ = ОС.

б) Для нахождения длины вектора СО, нам необходимо знать длину гипотенузы. Известно, что АВ=6 см. Так как треугольник равнобедренный, то гипотенуза равна двум сторонам катета (по теореме Пифагора). Значит, СО = ОВ = 6 / 2 = 3 см.