1 В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, точка М
лежит на стороне BD, причём ВМ = МО, АВ = m, АС = n. Выразите вектор ВМ
через векторы m и n.
2 Дан тетраэдр ABCD, в котором точка К — середина ребра АС, точка М —
середина отрезка KD, DA = a, DB = b, DC = c. Разложите вектор ВМ по
векторам а, b и с.
3 Даны векторы а{1; –2; 0}, b{3; –6; 0}, с{0; –3; 4}. Найдите координаты
1
вектора р = 2а – 3 b – с.
4 Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол φ между векторами AD1 и ВМ, где М —
середина ребра DD1.

1. Для выражения вектора ВМ через векторы m и n, мы можем использовать свойство параллелограмма, согласно которому диагонали параллелограмма делятся пополам.

Обозначим точки пересечения диагоналей как P, Q, R и S:
P - точка пересечения диагоналей AC и BD
Q - середина стороны AD
R - середина стороны BC
S - середина стороны AB

Так как точка М лежит на стороне BD и BM = MO, то М также является серединой отрезка BO. Таким образом, вектор ВМ можно представить как сумму векторов BM и MO.

Так как BM является половиной диагонали BD и MD, то мы можем представить его как половину вектора BD и половину вектора MA. То есть, BM = 0.5BD + 0.5MA.

Остается выразить MA через векторы m и n. Так как АМ = АВ - ВМ, мы можем записать MA = AB - BM = AB - 0.5BD - 0.5MA.

Теперь мы можем решить это уравнение относительно MA:
1.5MA = AB - 0.5BD
MA = (AB - 0.5BD) / 1.5

Таким образом, вектор ВМ можно представить как:
BM = 0.5BD + 0.5(AB - 0.5BD) / 1.5
BM = 0.5BD + (AB - 0.5BD) / 3
BM = 0.5BD + AB/3 - 0.5BD/3
BM = AB/3 + BD/6

2. Для разложения вектора ВМ по векторам a, b и c, мы можем использовать свойство тетраэдра, согласно которому точка делит отрезок в сторах тетраэдра в отношении длин этих сторон.

Обозначим точки К и М следующим образом:
К - середина ребра AC
М - середина отрезка KD

Так как точка К является серединой ребра AC, вектор КМ можно выразить как половину вектора АМ: КМ = 0.5AM.

Теперь мы можем выразить вектор ВМ через векторы a, b и c:
BM = BA + AM + MD
BM = -DA + 0.5AM + MD
BM = -a + 0.5(2MD) + MD
BM = -a + 0.5(2MD + 2MD)
BM = -a + MD + MD

Теперь разложим MD по векторам a, b и c, используя свойство тетраэдра. Так как D - середина отрезка KC, MD = 0.5KC.

Таким образом, можно записать:
BM = -a + 0.5(2MD + 2MD)
BM = -a + 0.5(2(0.5KC) + 2(0.5KC))
BM = -a + 0.5KC + 0.5KC
BM = -a + KC

3. Для нахождения координат вектора p = 2a - 3b - c, мы можем просто вычислить каждую координату отдельно.

Координаты вектора p будут равны сумме соответствующих координат векторов a, b и с с учетом их коэффициентов:
- p_x = 2 * a_x - 3 * b_x - c_x
- p_y = 2 * a_y - 3 * b_y - c_y
- p_z = 2 * a_z - 3 * b_z - c_z

Таким образом, координаты вектора p будут:
- p_x = 2 * 1 - 3 * 3 - 0 = -8
- p_y = 2 * (-2) - 3 * (-6) - (-3) = 6
- p_z = 2 * 0 - 3 * 0 - 4 = -4

Итак, координаты вектора p будут (-8, 6, -4).

4. Чтобы найти угол φ между векторами AD1 и ВМ, мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

cos(φ) = (AD1 * ВМ) / (|AD1| * |ВМ|)

где AD1 * ВМ - скалярное произведение векторов AD1 и ВМ,
|AD1| - длина вектора AD1,
|ВМ| - длина вектора ВМ.

Для начала, найдем скалярное произведение векторов AD1 и ВМ:
AD1 * ВМ = (A - D1) * (B - M)
AD1 * ВМ = (A - D1) * (B - D / 2)
AD1 * ВМ = (A - D1) * (B - 0.5(D + D1))

Раскроем скобки:
AD1 * ВМ = AB - 0.5(AD + AD1) - 0.5(BD + BD1) + 0.25(D + D1)
AD1 * ВМ = AB - 0.5AD - 0.5AD1 - 0.5BD - 0.5BD1 + 0.25D + 0.25D1

Теперь найдем длины векторов AD1 и ВМ:
|AD1| = |A - D1|
|AD1| = |A - (D + DD1)|
|AD1| = |A - D - DD1|
|AD1| = |A - D|

|ВМ| = |B - M|
|ВМ| = |B - 0.5(D + D1)|
|ВМ| = |B - 0.5D - 0.5D1|

Теперь вычислим значения:
|AD1| = √((Ax - Dx)^2 + (Ay - Dy)^2 + (Az - Dz)^2)
|ВМ| = √((Bx - 0.5Dx - 0.5D1x)^2 + (By - 0.5Dy - 0.5D1y)^2 + (Bz - 0.5Dz - 0.5D1z)^2)

Итак, мы получили значения скалярного произведения и длин векторов AD1 и ВМ. Теперь можем подставить значения в формулу:
cos(φ) = (AB - 0.5AD - 0.5AD1 - 0.5BD - 0.5BD1 + 0.25D + 0.25D1) / (√((Ax - Dx)^2 + (Ay - Dy)^2 + (Az - Dz)^2) * √((Bx - 0.5Dx - 0.5D1x)^2 + (By - 0.5Dy - 0.5D1y)^2 + (Bz - 0.5Dz - 0.5D1z)^2))