1)в четырехугольнике abcd ab=5 bc=3 ad=8, угол a=30 угол b=120. найдите сторону cd 2)около круга описан прямоугольный треугольник с острым углом 60 и прилежащим катетом длиной 6дм. найти плошать круга 3) треугольнике abc ab=7 ac=20 dc=15. окружность описанная в этот треугольник касается его строн в точка m,n и k найдите площадь треугольника mnk

1) Для нахождения стороны cd в четырехугольнике abcd, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Эта теорема позволяет нам найти длину одной стороны треугольника, если известны длины двух других сторон и величина между ними.

В нашем случае, мы имеем следующие данные:
ab = 5,
bc = 3,
ad = 8,
угол a = 30, угол b = 120.

Сначала нам нужно найти угол c, используя свойство суммы углов в четырехугольнике. Угол c = 360 - угол a - угол b = 360 - 30 - 120 = 210.

Теперь мы можем применить теорему косинусов для нахождения стороны cd.
У нас есть формула:
cd^2 = ab^2 + bc^2 - 2 * ab * bc * cos(c).

Подставляя данные, получаем:
cd^2 = 5^2 + 3^2 - 2 * 5 * 3 * cos(210).

Вычисляем значения:
cd^2 = 25 + 9 - 2 * 5 * 3 * cos(210).

Важно помнить, что для вычисления тригонометрических функций в радианах, а не в градусах. Поэтому мы должны перевести угол 210 из градусов в радианы:
210 * pi / 180 = 7 * pi / 6 радиан.

cd^2 = 25 + 9 - 2 * 5 * 3 * cos(7 * pi / 6).

Мы можем использовать косинус 7 * pi / 6 радиан из таблицы тригонометрических значений или калькулятора.
Значение косинуса 7 * pi / 6 равно -sqrt(3) / 2.

cd^2 = 25 + 9 - 2 * 5 * 3 * (-sqrt(3) / 2).
cd^2 = 34 + 15 * sqrt(3).

Теперь мы можем извлечь корень из обеих сторон уравнения:
cd = sqrt(34 + 15 * sqrt(3)).
Таким образом, сторона cd равна sqrt(34 + 15 * sqrt(3)).

2) Для нахождения площади круга, окружающего описанный прямоугольный треугольник, мы можем использовать следующую формулу:
Площадь = pi * r^2,
где r - радиус окружности, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника.

Мы знаем, что один из острых углов треугольника равен 60 градусов, и прилежащий катет имеет длину 6 дм.

Чтобы найти гипотенузу треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора:
h^2 = a^2 + b^2,
где h - гипотенуза, a и b - катеты.

В нашем случае, катет а равен 6 дм, а катет b может быть найден с использованием тригонометрической функции sin:
b = a * sin(60 градусов).

b = 6 * sin(60 градусов).

Мы знаем, что sin(60 градусов) равно sqrt(3) / 2.

b = 6 * sqrt(3) / 2.

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу Пифагора:
h^2 = (6^2) + (6 * sqrt(3) / 2)^2.
h^2 = 36 + (36 * 3 / 4).

h^2 = 36 + 27.
h = sqrt(63).

Таким образом, радиус окружности равен sqrt(63).

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения площади круга:
Площадь = pi * r^2.
Площадь = pi * (sqrt(63))^2.
Площадь = 63 * pi дм^2.

3) Чтобы найти площадь треугольника mnk, мы можем использовать формулу для площади треугольника, который описан около окружности:
Площадь = (abc) / (4 * R),
где abc - произведение сторон треугольника, R - радиус вписанной окружности.

У нас есть следующие данные:
ab = 7,
ac = 20,
dc = 15.

Первым шагом нам нужно найти третью сторону треугольника bc, используя теорему Пифагора:
bc^2 = ab^2 + ac^2 - 2 * ab * ac * cos(B),
где B - это угол между сторонами ab и ac.

Чтобы найти угол B, мы можем использовать свойство суммы углов в треугольнике:
B = 180 - угол a - угол c,
B = 180 - 30 - угол c.

Теперь мы можем найти cos(B) с помощью тригонометрической функции cos:
cos(B) = cos(180 - 30 - угол c).

cos(B) = cos(150 - угол c).

Для вычисления cos(150 - угол c), мы можем использовать тригонометрическую формулу cos(α - β) = cos(α) * cos(β) + sin(α) * sin(β). В нашем случае, α = 150, β = угол c.

cos(B) = cos(150) * cos(угол c) + sin(150) * sin(угол c).

Мы знаем, что cos(150) = -sqrt(3) / 2 и sin(150) = 1 / 2.

cos(B) = (-sqrt(3) / 2) * cos(угол c) + (1 / 2) * sin(угол c).

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу для нахождения длины стороны bc:
bc^2 = 7^2 + 20^2 - 2 * 7 * 20 * ((-sqrt(3) / 2) * cos(угол c) + (1 / 2) * sin(угол c))^2.

bc^2 = 49 + 400 - 2 * 7 * 20 * ((-sqrt(3) / 2) * cos(угол c) + (1 / 2) * sin(угол c))^2.

bc^2 = 449 - 140 * ((-sqrt(3) / 2) * cos(угол c) + (1 / 2) * sin(угол c))^2.

Далее, мы знаем, что вписанная окружность треугольника касается его сторон в точках m, n и k. Таким образом, длина отрезка mn равна bc, длина отрезка mk равна ab, а длина отрезка nk равна ac.

Теперь мы можем выразить площадь треугольника mnk, используя формулу:
Площадь = (abc) / (4 * R),
где abc = bc * ab * ac и R - радиус вписанной окружности.

Подставим выражения для сторон треугольника и найденное значение стороны bc, а также используем формулу abc:
Площадь = (bc * ab * ac) / (4 * R).

Подставим найденное значение bc, ab и ac:
Площадь = (bc * 7 * 20) / (4 * R).

Для нахождения площади треугольника mnk, нам нужно найти радиус вписанной окружности R.

Для этого мы можем воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности треугольника, который описан около окружности:
R = (abc) / (4 * Площадь).

Подставим известные значения abc и площади треугольника mnk и решим уравнение для R.

R = (bc * ab * ac) / (4 * Площадь).

R = (bc * 7 * 20) / (4 * Площадь).