1. У циліндрі паралельно осі проведено переріз, діагональ якого 17см. Знайти відстань від осі циліндра до площини перерізу, якщо висота циліндра 15см, а радіус основи 5см. 2. Обчислити об`єм конуса, осьовий переріз якого прямокутний трикутник площею 9 кв.м.

3. В кулі по одну сторону від центру провели два паралельні перерізи, площею 49π кв.дм та 4π кв.м. Знайти площу поверхні кулі, якщо відстань між перерізами 9 дм.

4. Сторони трикутника 13, 14 і 15 см. Знайти відстань від площини трикутника до центру сфери, що дотикається кожної сторони трикутника, якщо радіус сфери 5см.
​

Русский бы

Объяснение:

1. Для розв'язку цього завдання використовуємо теорему Піфагора, яка стверджує, що в квадраті гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. В даному випадку, досліджуючи перетин циліндра, розглядаємо півпериметр прямокутного трикутника, сторонами якого є радіус основи циліндра, його висота та відстань від осі до площини перетину (половина діагоналі перетину). Позначимо рівність за допомогою формул: a + b + c = p. А також, де b - шукана нами відстань від осі циліндра до площини перетину, p - півпериметр, що дорівнює сумі усіх сторін прямокутного трикутника, a - радіус основи циліндра (в даному випадку), c - піввисота циліндра (значення, яке також нам дано). Запишемо формулу для розв'язку даної задачі: b = p - a - c.

Дано:
радіус основи циліндра (a) = 5 см,
піввисота циліндра (c) = 15 см.

Визначимо півпериметр (p) за допомогою даної формули: p = a + a + c = 2a + c.

Підставимо відомі значення у формулу і виконаємо обчислення:
p = 2*5см + 15см = 10см + 15см = 25см.

Тепер, виконаємо остаточний розрахунок для знаходження b:
b = p - a - c = 25см - 5см - 15см = 5см.

Отже, відстань від осі циліндра до площини перетину дорівнює 5 см.

2. Для розв'язку цієї задачі використовуємо формулу для обчислення об'єму конуса v = (1/3) * S * h, де S - площа основи конуса, а h - висота конуса. У нашому випадку, площа основи (S) дорівнює 9 кв.м, адже така площа задана у вихідних даних. А висоту (h) слід знайти, застосувавши теорему Піфагора для знаходження довжини катету прямокутного трикутника, який є перерізом конуса.

Дано:
площа основи конуса (S) = 9 кв.м.

Знайдемо висоту (h) конуса за допомогою теореми Піфагора. Позначимо катети прямокутного трикутника як а і b, а гіпотенузу як с. Формула для знаходження с: c = √(a^2 + b^2).

Зауважимо, що прямокутний трикутник має площу 9 кв.м, тобто (1/2) * a * b = 9, або a * b = 18.

Очевидно, що прямокутний трикутник може мати різні значення для катетів a і b, що задовольняє рівнянню a * b = 18. Один з можливих варіантів - a = 6 і b = 3.

Застосуємо формулу для знаходження гіпотенузи:
c = √(a^2 + b^2) = √((6 см)^2 + (3 см)^2) = √(36 см^2 + 9 см^2) = √(45 см^2) = 3√5 см.

Отже, гіпотенуза нашого прямокутного трикутника дорівнює 3√5 см, а це значить, що висота (h) конуса також рівна 3√5 см.

Зараз, підставимо отримані значення (S = 9 кв.м і h = 3√5 см) у формулу для обчислення об'єму конуса:
v = (1/3) * S * h = (1/3) * 9 кв.м * 3√5 см = 3√5 куб.см.

Отримали, що об'єм конуса дорівнює 3√5 куб.см.

3. Для розв'язку цього завдання перше, що ми розглядаємо, є взаємозв'язок площ перерізів та відстані між ними з площею поверхні кулі. А саме, якщо перерізів більше одного, то по сумі квадратів площ цих перерізів рівна площі поверхні кулі. Тому, ми можемо записати наступне рівняння: (49π + 4π) = 4πr^2.
Скоротимо π: 53 = 4r^2.
Нехай 4r^2=b. Тоді b = 53.
Зручно означити b = 53, зважаючи на його природнє значення: 53 = 7^2 + 2^2.

Застосуємо теорему Піфагора тут. Пояснюємо це школяру: для правильного трикутника, квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Знаходиться квадрат гіпотенузи, а потім проводиться зворотній розрахунок: виконуємо зворотний розрахунок root(53) = root(7^2 + 2^2) = 7 + 2 = 9.

Таким чином, r = 9. Отже, площа поверхні кулі може бути знайдена за допомогою формули S = 4πr^2.
S = 4 * π * (9)^2 = 324π см^2.

Отримали, що площа поверхні кулі дорівнює 324π см^2.

4. Для розв'язку цього завдання використовуємо теорему про висоту рівнобедреного трикутника, яка говорить, що висота рівнобедреного трикутника (v) проходить через середину основи і перпендикулярна до неї. Також, враховуючи, що задано радіус сфери r, відстань від вершини (центру сфери) до площини трикутника (d) можна знайти за допомогою теореми Піфагора, замінивши один з катетів площиною трикутника.

Дано:
сторони трикутника: а = 13 см, b = 14 см, c = 15 см,
радіус сфери (r) = 5 см.

Для розв'язку цього завдання спочатку знайдемо площу трикутника, використовуючи формулу Герона: S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), де p - півпериметр трикутника.

Обчислимо півпериметр (p): p = (a + b + c) / 2 = (13 см + 14 см + 15 см) / 2 = 42 см / 2 = 21 см.

Тепер підставимо отримані значення у формулу для обчислення площі трикутника:
S = √(21 см * (21 см - 13 см) * (21 см - 14 см) * (21 см - 15 см)) = √(21 см * 8 см * 7 см * 6 см) = √(21 см * 2^3 * 7 см * 3 * 2 см) = √(3 * 2^3 * 7 см^4) = √(168 см^4) = 4√21 см^2.

Отже, площа трикутника дорівнює 4√21 кв.см.

Тепер, використаємо теорему Піфагора для знаходження відстані від площини трикутника до центру сфери. Знайдемо довжину висоти: v = √(r^2 - (d/2)^2), де d - відстань від площини трикутника до центру сфери.

Запишемо формулу для знаходження відстані від площини трикутника до центру сфери:
v = √(r^2 - (d/2)^2).

Позначимо довжину висоти як v і відстань як d. Тоді формула стає:
v = √(r^2 - (d/2)^2).

Підставимо відомі значення у формулу і знайдемо висоту:
v = √(5 см^2 - (d/2)^2).

Зауважимо, що у нас є рівність сторін трикутника (a = b = c), тому можемо записати наступне рівняння:
4 * S = a * v.

Підставимо значення S знаходжене раніше і отриману формулу для v в це рівняння і розв'яжемо відносно d:
4 * 4√21 см^2 = 13 см * √(5 см^2 - (d/2)^2).

Розв'язуємо рівняння:
16√21 см^2 = 13 см * √(5 см^2 - (d/2)^2).

Для спрощення обчислень позначимо t = √(5 см^2 - (d/2)^2), тоді рівняння стає:
16√21 см^2 = 13 см * t.

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату, щоб виразити t:
(16√21 см^2)^2 = (13 см * t)^2.

Звести до квадрату:
256 * 21 см^4 = 169 см^2 * t^2.

Розв'яжемо рівняння та виразимо t:
t = √((256 * 21 см^4) / (169 см^2)) = √((256 * 21) / 169) см = √(5376 / 169) см = √(32) см = 4√2 см.

Тепер, знаючи значення t, підставимо його у формулу v = √(5 см^2 - (d/2)^2) для знаходження відстані d:
4√2 см = √(5 см^2 - (d/2)^2).

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату, щоб виразити (d/2)^2:
(4√2 см)^2 = 5 см^2 - (d/2)^2.

16 * 2 см^2 = 5 см^2 - (d/2)^2.

32 см^2 = 5 см^2 - (d/2)^2.

Перенесемо частини рівняння з (d/2)^2 на одну сторону:
27 см^2 = (d/2)^2.

Виконаємо зворотний р