1. разность проекций катетов на гипотенузу равно 15, а расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы равно 4. найти радиус описанной окружности.
заранее !

Пусть х - проекция первого катета на гипотенузу, у - второго катета.

По условию, x - y = 15 отсюда x = 15 + y.

Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое между проекциями катетов. Также замечу, что высота h - расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы, h = 4.

h² = xy

4² = (15+y)y

y² + 15y - 16 = 0

Решая как квадратное уравнение и принимая во внимая y > 0, найдем искомое значение проекции второго катета y = 1, тогда x = 16. Гипотенуза прям. треуг. равна x + y = 17. Радиус описанной окружности около треугольника равна половине гипотенузы: R = 17/2 = 8,5.