1). От треугольной пирамиды, объем которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
2). Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 3,3. Найдите объем треугольной пирамиды ABCB1.
3). Объем куба равен 123. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

1) Для решения этой задачи мы можем использовать принцип подобия фигур.

Отсеченная треугольная пирамида имеет плоскость, проходящую через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Обозначим эту треугольную плоскость как A'B'C', а исходную пирамиду как ABC.

Школьник должен понять, что отношение объемов подобных фигур равно кубу отношения соответствующих сторон. В данном случае, чтобы найти объем отсеченной треугольной пирамиды, нам нужно найти отношение высот отсеченной пирамиды к исходной пирамиде и возведенное в куб.

Заметим, что высота отсеченной пирамиды и высота исходной пирамиды проходят через вершину и середины соответствующих сторон основания. Таким образом, эти высоты создают подобие между двумя треугольниками. Значит, отношение высот будет равно отношению соответствующих сторон треугольников.

Мы можем найти это отношение, используя свойство средней линии треугольника. Средняя линия треугольника делит ее на две равные части, и соединение вершины пирамиды и середины стороны основания создает два подобных треугольника. Значит, отношение сторон в этих треугольниках будет 1:2.

Таким образом, отношение высот будет равно 1:2.

Теперь мы можем найти объем отсеченной пирамиды, зная объем исходной пирамиды и отношение высот:

V(отсеченной пирамиды) = (1/2)^3 * V(исходной пирамиды) = (1/8) * 34 = 4.25

Ответ: объем отсеченной треугольной пирамиды равен 4.25.

2) В этой задаче нам также понадобится принцип подобия фигур и знание свойств параллелограмма.

Обозначим высоту треугольной пирамиды ABCB1 как h. Школьник должен понять, что основание этой пирамиды - треугольник ABC - является подобным треугольнику А1В1С. Значит, отношение сторон в этих треугольниках будет одинаковым.

Мы знаем, что объем параллелепипеда ABCDA1B1C1 равен 3,3. Объем пирамиды ABCB1 составляет 1/3 от объема параллелепипеда. Значит:

V(пирамиды ABCB1) = (1/3) * V(параллелепипеда ABCDA1B1C1) = (1/3) * 3,3 = 1.1

Ответ: объем треугольной пирамиды ABCB1 равен 1.1.

3) Для решения этой задачи мы можем использовать свойства объемов геометрических фигур.

Обозначим сторону куба как a. Мы знаем, что объем куба равен 123. Так как объем куба равен a^3, мы можем найти значение стороны куба:

a^3 = 123

a = ∛123

Теперь нам нужно найти объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной - центр куба.

Обозначим эту пирамиду как ABCD, где A, B, C и D - вершины куба.

Заметим, что данная пирамида - прямоугольная треугольная пирамида, так как одна из сторон основания - грань куба, которая является прямоугольником.

Чтобы найти объем пирамиды ABCD, мы используем формулу для объема прямоугольной треугольной пирамиды, которая равна (1/3) * S * h, где S - площадь основания и h - высота.

Площадь прямоугольного треугольника равна (1/2) * a * b, где a и b - стороны прямоугольного треугольника, а h - общая высота пирамиды, которая равна радиусу вписанной окружности в основание пирамиды. В нашем случае, радиус вписанной окружности - половина длины стороны куба, так как центр куба является вершиной пирамиды.

Значит, площадь основания пирамиды ABCD равна (1/2) * a * a = (1/2) * a^2, а общая высота равна a/2.

Теперь мы можем найти объем пирамиды ABCD:

V(пирамиды ABCD) = (1/3) * (1/2) * a^2 * (a/2) = (1/6) * a^3 = (1/6) * 123

Ответ: объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной - центр куба, равен (1/6) * 123.