1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 58º24′. Найдите остальные углы.

а)31º36′ и 90º

б)60º42′ и 90º

в)58º24′ и 31º36′

г)90º и 58º24′

2. В равнобедренном треугольнике угол из углов 80º. Может ли этот треугольник быть прямоугольным?

а)да

б)нет

в)недостаточно данных для ответа

3. В прямоугольном треугольнике АВС ∠А=30º. Найдите катет СВ, если гипотенуза АВ =8,6 дм

а)30 см

б)4,3 см

в)8,6 дм

г)4,3 дм

4. В прямоугольном треугольнике МРК с прямым углом М сторона РК а 2 раза больше стороны РМ. Найдите угол Р.

а)30º

б)60º

в)45º

г)90º

5. Чему равны углы при основании равнобедренного прямоугольного треугольника?

а)45º и 45º

б)60º и 60º

в)30º и 60º

г)30º и 30º

6. Будут ли равны треугольники МКН и РКН на рисунке?
Рисунок прикреплен в самом низу
а)да

б)нет

в)недостаточно данных для ответа

7. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 4:5. Найдите градусные меры этих углов.

а)30º и 60º

б)45º и 45º

в)10º и 80º

г)40º и 50º

8. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С ∠В=45º. Известно, что АС = 12,8 см. Найдите ВС.

а)12,8 мм

б)6,4 дм

в)12,8 cм

г)25,6 дм

9. Высота СD прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла равна 8 см, ∠А= 45º. Найдите гипотенузу АВ.

а)8 см

б)4 см

в)16 см

г)45 см

1. Для нахождения остальных углов прямоугольного треугольника, мы можем использовать свойство суммы углов треугольника, которое гласит, что сумма всех углов треугольника равна 180º. Таким образом, если один из углов равен 58º24′, то сумма остальных двух углов должна быть равна 180º - 58º24′.

а) 31º36′ и 90º:
Сумма двух углов будет равна 180º - 58º24′ = 121º36′. Теперь мы знаем, что один из этих углов равен 90º, поскольку это прямоугольный треугольник. Следовательно, другой угол будет равен 121º36′ - 90º = 31º36′.

б) 60º42′ и 90º:
Сумма двух углов будет равна 180º - 58º24′ = 121º36′. Так как один из углов равен 90º, оставшийся угол будет равен 121º36′ - 90º = 31º36′.

в) 58º24′ и 31º36′:
Сумма двух углов будет равна 180º - 58º24′ = 121º36′. Так как один из углов равен 31º36′, оставшийся угол будет равен 121º36′ - 31º36′ = 90º.

г) 90º и 58º24′:
Сумма двух углов будет равна 180º - 58º24′ = 121º36′. Так как один из углов равен 90º, оставшийся угол будет равен 121º36′ - 90º = 31º36′.

2. В равнобедренном треугольнике два угла при основании являются равными. Если один из углов равен 80º, то второй угол при основании также будет равен 80º. Таким образом, у равнобедренного треугольника ни один угол не может быть прямым (равным 90º). Поэтому ответ будет: б) нет.

3. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, мы можем найти длину катета СВ, используя данную формулу.

Гипотенуза АВ равна 8,6 дм (дециметров), что составляет 86 см. Так как катет СВ составляет две трети от гипотенузы, то мы можем найти его, умножив 86 на 2/3.

2/3 * 86 = 2 * 86 / 3 = 172 / 3 ≈ 57,33 см.

Ответ: г) 4,3 дм.

4. Пусть сторона РМ равна а, тогда сторона РК равна 2а, по условию. В данной задаче нам нужно найти угол Р, поэтому мы можем использовать тригонометрическое соотношение для нахождения угла в прямоугольном треугольнике.

Тангенс угла Р определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Тангенс угла Р = (противолежащий катет) / (прилежащий катет)

Так как сторона РК (противолежащий катет) равна 2а, а сторона РМ (прилежащий катет) равна а, мы можем записать уравнение:

тан Р = (2а) / а = 2.

Находим угол Р, используя обратную функцию тангенса:

Р = arctan(2) ≈ 63,43º.

Ответ: К тангенсу угла 63,43º соответствует правильный вариант ответа в) 45º.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны. Так как сумма углов треугольника равна 180º, и один из углов прямой, то другие два угла при основании равны.

Ответ: в) 30º и 60º.

6. Для определения равенства треугольников МКН и РКН нам необходимо знать все их стороны и углы. Из рисунка мы видим только стороны, но не углы. Поэтому у нас недостаточно данных для ответа.

Ответ: в) недостаточно данных для ответа.

7. Если острые углы в прямоугольном треугольнике относятся как 4:5, тогда мы можем записать данное отношение в виде:

4x : 5x,

где x - некоторый коэффициент, а 4x и 5x - градусные меры острых углов.

Известно, что сумма всех углов треугольника равна 180º. Поэтому мы можем составить уравнение:

4x + 5x + 90 (прямой угол) = 180.

9x + 90 = 180,

9x = 90,

x = 10.

Теперь мы можем найти градусные меры углов, подставив найденное значение x в исходное отношение:

4x = 4 * 10 = 40º,
5x = 5 * 10 = 50º.

Ответ: г) 40º и 50º.

8. Если в прямоугольном треугольнике ∠В равен 45º, то треугольник будет являться равнобедренным, поскольку ∠В равен ∠С. Также известно, что АС = 12,8 см.

В равнобедренном треугольнике основания (стороны, на которые опираются углы) равны. Поэтому АВ = АС = 12,8 см.

Ответ: в) 12,8 см.

9. В прямоугольном треугольнике АВС высота CD проведена из вершины прямого угла. Угол А равен 45º, а высота CD равна 8 см.

Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Таким образом, мы можем использовать соотношение гипотенузы и катета в прямоугольном треугольнике.

Тангенс угла А = противолежащий катет / прилежащий катет.

Тангенс угла А = (CD) / (BC).

Так как угол А равен 45º и тангенс 45º равен 1, мы можем записать уравнение:

1 = 8 / (BC).

Выражаем BC:

BC = 8 / 1 = 8 см.

Ответ: а) 8 см.