1. найдите длину отрезка mn и координаты его середины, если m (−4; 3) и
n (6; −5).

2. составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке f (3; −2) и которая проходит через точку n (5; −9).

3. найдите координаты вершины c параллелограмма abcd, если a (−3; 3),
b (−1; 4), d (8; 1).

4. составьте уравнение прямой, проходящей через точки d (3; −4) и b (5; 8).

5. найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек d (1; 10) и k (7; 8).

6. составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой y = −6x − 1 и проходит через центр окружности .

1. Чтобы найти длину отрезка mn, используем формулу расстояния между двумя точками:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек

В данном случае, координаты точки m: (x1, y1) = (-4, 3) и координаты точки n: (x2, y2) = (6, -5)

d = √((6 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2)
= √(10^2 + (-8)^2)
= √(100 + 64)
= √164
≈ 12.81

Таким образом, длина отрезка mn ≈ 12.81.

Чтобы найти координаты середины отрезка mn, можно использовать формулы:
x = (x1 + x2) / 2
y = (y1 + y2) / 2

В данном случае,
x = (-4 + 6) / 2 = 2 / 2 = 1
y = (3 + (-5)) / 2 = -2 / 2 = -1

Таким образом, координаты середины отрезка mn: (1, -1).

2. Чтобы составить уравнение окружности, зная координаты центра и проходящей через точку, используем формулу окружности:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2,
где (h, k) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

В данном случае, координаты центра окружности: (h, k) = (3, -2) и точка, которая проходит через окружность: (x, y) = (5, -9).

(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = r^2
(5 - 3)^2 + (-9 - (-2))^2 = r^2
2^2 + (-7)^2 = r^2
4 + 49 = r^2
53 = r^2

Таким образом, уравнение окружности будет: (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 53.

3. Чтобы найти координаты вершины c параллелограмма abcd, можно использовать свойство параллелограмма, что противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Так как точки a, b и d даны, мы можем использовать формулу для нахождения четвертой точки c:
c(x, y) = d(x_d + x_a - x_b, y_d + y_a - y_b)
где (x_a, y_a), (x_b, y_b) и (x_d, y_d) - координаты точек a, b и d соответственно.

В данном случае, a: (-3, 3), b: (-1, 4) и d: (8, 1).

c(x, y) = (8 + (-3) - (-1), 1 + 3 - 4)
= (8 + 3 + 1, 1 + 3 - 4)
= (12, 0)

Таким образом, координаты вершины c: (12, 0).

4. Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через точки d и b, используем формулу для нахождения уравнения прямой: y = mx + b,
где m - наклон прямой и b - y-перехват.

Наклон m можно найти, используя формулу:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1),
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек.

В данном случае, точка d: (x1, y1) = (3, -4) и точка b: (x2, y2) = (5, 8).

m = (8 - (-4)) / (5 - 3)
= 12 / 2
= 6

Теперь, чтобы найти y-перехват b, можем использовать любую из точек, например точку b:
y = mx + b
8 = 6 * 5 + b
8 = 30 + b
b = -22

Таким образом, уравнение прямой будет: y = 6x - 22.

5. Чтобы найти координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудаленной от точек d и k, можно использовать формулу для нахождения средней точки между двумя точками.

Средняя точка (x, y) между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) будет:
x = (x1 + x2) / 2
y = (y1 + y2) / 2

В данном случае, точка d: (x1, y1) = (1, 10) и точка k: (x2, y2) = (7, 8).

x = (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4
y = (10 + 8) / 2 = 18 / 2 = 9

Таким образом, координаты искомой точки: (4, 9).

6. Чтобы составить уравнение прямой, которая параллельна прямой y = -6x - 1 и проходит через центр окружности, нужно знать, что параллельные прямые имеют одинаковый наклон.

Наклон параллельной прямой равен -6, поэтому уравнение прямой будет иметь вид y = -6x + b, где b - y-перехват.

Так как прямая проходит через центр окружности, то координаты центра даны как (h, k) = (3, -2). Можем использовать эти координаты для нахождения b.

Подставляем координаты центра в уравнение прямой:
-2 = -6 * 3 + b
-2 = -18 + b
b = 16

Таким образом, уравнение прямой будет: y = -6x + 16.