1.Какая из перечисленных точек лежит в XOY:
а) A (3; 7;-5); в) C (3;0; 5);
б) B (2;-2;0); г) D (0;-1;2).

2. Точка M – середина отрезка AB. Найдите координаты точки B, если
A (4;-6; 2), M (5;-3;0).
а) B(6;0;-2); в) B(1;-3;-2);
б) B(7;-6;1);

3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 3 см . Угол,
лежащий напротив основания, равен 30°. Найдите площадь проекции этого
треугольника на плоскость, если плоскость треугольника наклонена к плоскости
проекции под углом 60 градусов .
а) 9/8 см^2 ; в) 4/5 см^2 ;
б) 8/9 см^2 ;

4. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 6, проведены две
наклонные к плоскости под углами 45° и 30°. Найдите длины наклонных.
а) 6√2 и 8√2;. в) 4√2 и 8√2
б) 6√2 и 12;

5. Угол между векторами a и b равен 60°. Найдите абсолютную величину вектора 2 а - b , если |а|=4 и |b|=2.
а) 10; в) 5√2 ;
б) 2√13;

6. Найдите длину AK – медианы треугольника ABC, если A (7;5;-1),
B (-3;2;6), C (9;0;-12).

а) 3√6 ; в) 6;
б) 2√6 ;

7. Какой из данных углов наибольший, если A(2;0;1), B(0;-1;4), C(3;-1;-2),
D (0; 2;0).
а) ABC ; в) CDA;
б) BCD ; г) DAB​

1. Для того чтобы определить, какая из перечисленных точек лежит в плоскости XOY, нужно проверить, имеют ли у этих точек координаты z=0. Проверяем каждую точку по порядку:
а) A(3; 7;-5) - точка не лежит в плоскости XOY, так как z ≠ 0.
в) C(3;0; 5) - точка лежит в плоскости XOY, так как z = 0.
б) B(2;-2;0) - точка лежит в плоскости XOY, так как z = 0.
г) D(0;-1;2) - точка не лежит в плоскости XOY, так как z ≠ 0.
Ответ: точки С(3; 0; 5) и B(2; -2; 0) лежат в плоскости XOY.

2. Чтобы найти координаты точки B, воспользуемся свойством середины отрезка. Середина отрезка AB представляет собой точку, координаты которой являются средним арифметическим координат точек A и B. Найдем каждую координату точки B по отдельности:
Координата x точки B: (x_A + x_B)/2 = (4 + x_B)/2 --> 4 + x_B = 2 * 5 --> x_B = 6.
Координата y точки B: (y_A + y_B)/2 = (-6 + y_B)/2 --> -6 + y_B = 2 * (-3) --> y_B = 0.
Координата z точки B: (z_A + z_B)/2 = (2 + z_B)/2 --> 2 + z_B = 2 * 0 --> z_B = -2.
Ответ: координаты точки B равны B(6; 0; -2).

3. Площадь проекции треугольника на плоскость можно найти, используя формулу площади проекции треугольника на плоскость, равную произведению площади основания треугольника и косинуса угла между плоскостью проекции и его плоскостью. В данном случае, площадь проекции будет равна (1/2) * 3^2 * cos(60°) = (1/2) * 9 * 0.5 = 4.5/2 = 9/4 = 2.25.

Ответ: площадь проекции треугольника равна 9/8 см^2.

4. Для нахождения длин наклонных к плоскости под указанными углами, можно использовать тригонометрические соотношения. По формуле тангенса угла, тангенс 45° = h/6, где h - длина одной наклонной. Также, тангенс 30° = h/6, где h - длина другой наклонной. Решим эти уравнения:
тангенс 45° = 1 = h/6 --> h = 6.
тангенс 30° = 1/√3 = h/6 --> h = 6/√3 = 2√3.
Ответ: длины наклонных равны 6 и 2√3.

5. Для нахождения абсолютной величины вектора 2a - b, нужно умножить каждую координату вектора на 2 и вычесть соответствующие координаты вектора b. Затем найдем абсолютную величину полученного вектора:
2a - b = (2 * 4 - 2) + (2 * 0 - (-2)) + (2 * 0 - 0) = 8 + 2 + 0 = 10.
Ответ: абсолютная величина вектора 2a - b равна 10.

6. Для нахождения длины медианы AK треугольника ABC, нужно найти координаты точки K - середины стороны BC. Координаты точки K можно найти как среднее арифметическое координат точек B и C. Затем используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве для нахождения длины медианы AK:
Координата x точки K: (x_B + x_C)/2 = (-3 + 9)/2 = 6/2 = 3.
Координата y точки K: (y_B + y_C)/2 = (2 + 0)/2 = 2/2 = 1.
Координата z точки K: (z_B + z_C)/2 = (6 - 12)/2 = -6/2 = -3.
Теперь найдем длину медианы AK:
|AK| = sqrt((x_A - x_K)^2 + (y_A - y_K)^2 + (z_A - z_K)^2) = sqrt((7 - 3)^2 + (5 - 1)^2 + (-1 - (-3))^2) = sqrt(16 + 16 + 4) = sqrt(36) = 6.
Ответ: длина медианы AK треугольника ABC равна 6.

7. Для нахождения наибольшего угла из данных, нужно найти углы ABC, CDA, BCD и DAB и сравнить их значения. Мы можем использовать формулу косинуса угла между векторами, чтобы найти каждый из этих углов. Найдем углы по отдельности:
Угол ABC: cos(ABC) = (AB * BC) / (|AB| * |BC|), где AB и BC - векторы, а |AB| и |BC| - их длины. Подставим значения и рассчитаем:
cos(ABC) = ((0 - (-1)) * (-3 - (-1)) + (4 - 0) * (0 - (-1)) + (2 - 4) * (3 - (-1))) / (sqrt((0 - (-1))^2 + (4 - 0)^2 + (2 - 4)^2) * sqrt((-3 - (-1))^2 + (0 - (-1))^2 + (3 - (-1))^2))
= (2 * (-2) + 4 * 1 + (-2) * 4) / (sqrt(1 + 16 + 4) * sqrt(4 + 1 + 16))
= (-4 + 4 - 8) / (sqrt(21) * sqrt(21))
= -8 / 21.
Угол CDA: cos(CDA) = (CD * DA) / (|CD| * |DA|). Подставим значения и рассчитаем:
cos(CDA) = ((3 - 0) * (0 - 2) + (-1 - 0) * (2 - 7) + (-2 - (-1)) * (0 - 5)) / (sqrt((3 - 0)^2 + (-1 - 0)^2 + (-2 - (-1))^2) * sqrt((0 - 2)^2 + (2 - 7)^2 + (0 - 5)^2))
= (6 * (-2) + (-1) * (-5) + (-1) * (-5)) / (sqrt(9 + 1 + 1) * sqrt(4 + 25 + 25))
= (-12 + 5 + 5) / (sqrt(11) * sqrt(54))
= -2 / (sqrt(11) * 3√6).
Угол BCD: cos(BCD) = (BC * CD) / (|BC| * |CD|). Подставим значения и рассчитаем:
cos(BCD) = ((-3 - (-1)) * (3 - 0) + (0 - 0) * (-1 - 2) + (3 - (-1)) * (1 - 0)) / ((sqrt((-3 - (-1))^2 + (0 - 0)^2 + (3 - (-1))^2) * sqrt((3 - 0)^2 + (-1 - 2)^2 + (1 - 0)^2))
= (-2 * 3 + 0 * (-3) + 4 * 1) / (sqrt(4 + 9 + 16) * sqrt(9 + 9 + 1))
= (-6 + 0 + 4) / (sqrt(29) * sqrt(19))
= -2 / (sqrt(29) * sqrt(19)).
Угол DAB: cos(DAB) = (DA * AB) / (|DA| * |AB|). Подставим значения и рассчитаем:
cos(DAB) = ((0 - 2) * (0 - 1) + (3 - 0) * (2 - 4) + (1 - 0) * (4 - 0)) / (sqrt((0 - 2)^2 + (3 - 0)^2 + (1 - 0)^2) * sqrt((0 - 1)^2 + (4 - 0)^2 + (2 - 4)^2))
= (-2 * (-1) + 3 * (-2) + 1 * 4) / (sqrt(4 + 9 + 1) * sqrt(1 + 16 + 4))
= (2 - 6 + 4) / (sqrt(14) * sqrt(21))
= 0 / (sqrt(14) * sqrt(21))
= 0.
Ответ: наибольший угол из данных - ABC. а) ABC.