1. Докажите равенство треугольников ABM и CDM (рис. 46), если AM = CM и ∠BAM =∠DCM.
2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 49 см, а основание на 7 см больше боковой стороны.
3. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки M и K так, что BM = BK. Докажите, что ∠BAK =∠BCM.
4. Известно, что CK = DK и ∠CKP =∠DKP (рис. 47). Докажите, что ∠MCP =∠MDP.
5. Серединный перпендикуляр стороны AC треугольника ABC пересекает его сторону BC в точке D. Найдите периметр треугольника ABD, если AB = 10 см, BC = 15 см.
4. Известно, что CK = DK и ∠CKP =∠DKP (рис. 47). Докажите, что ∠MCP =∠MDP

ответ:AM=CM (по условию)

Угол BAM=углу DCM по условию

Угол AMB=углу CMD вертикальные

Треугольник АBM =CDM по стороне и двум прилежащим к ней углам

Объяснение:

1. Для доказательства равенства треугольников ABM и CDM, мы можем использовать две пары равных углов и одну пару равных сторон.

У нас дано, что AM = CM и ∠BAM =∠DCM.

Так как AM = CM, то у нас есть пара равных сторон.

∠BAM =∠DCM - это пара равных углов.

По свойству треугольников, если у двух треугольников есть пары равных углов и пара равных сторон между ними, то эти треугольники равны. Таким образом, треугольники ABM и CDM равны.

2. Пусть основание равнобедренного треугольника равно x см. Тогда боковая сторона будет равна x-7 см.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон: AB + BC + AC. Нам дано, что периметр равен 49 см.

AB = x см (основание)
BC = (x-7) см (боковая сторона)
AC = (x-7) см (боковая сторона)

49 = x + (x-7) + (x-7)
49 = 3x -14
63 = 3x
x = 21

Таким образом, основание равнобедренного треугольника равно 21 см, а его боковая сторона равна 14 см.

3. Мы знаем, что BM = BK и у нас есть равнобедренный треугольник ABC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то у него две одинаковые боковые стороны AB и BC. Если BM = BK, это означает, что MB = KB.

Также, у равнобедренного треугольника углы между боковыми сторонами и основанием равны.

∠BAM =∠DCM, это означает, что ∠BAK =∠BCM.

4. У нас дано, что CK = DK и ∠CKP =∠DKP.

Мы знаем, что CK = DK, поэтому мы можем сказать, что треугольник CKD равнобедренный (так как у него две одинаковые стороны CK и DK).

Также, у нас дано, что ∠CKP =∠DKP, это означает, что у треугольника CKD есть пары равных углов и поэтому у него еще и две одинаковых стороны CK и DK.

Таким образом, треугольник CKD равен треугольнику DCK (по свойству равнобедренных треугольников).

Мы можем увидеть, что треугольники MCP и MDP являются частями треугольников CKD и DCK (так как C и D лежат на сторонах KP и KD).

Так как треугольники CKD и DCK равны, то и их части, треугольники MCP и MDP также равны.

Значит, ∠MCP =∠MDP.

5. Серединный перпендикуляр стороны AC треугольника ABC пересекает его сторону BC в точке D.

Мы можем использовать свойство серединных перпендикуляров, которое гласит, что серединный перпендикуляр стороны треугольника делит эту сторону пополам.

Таким образом, BD = DC.

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника ABD, используя информацию о сторонах треугольника ABC.

AB = 10 см
BC = 15 см
BD = DC = 15/2 = 7.5 см (так как BD = DC)

Теперь мы можем найти длину стороны AD, используя теорему Пифагора.

AD² = AB² + BD²
AD² = 10² + 7.5²
AD² = 100 + 56.25
AD² = 156.25
AD = √156.25
AD = 12.5 см

Так как периметр треугольника равен сумме длин его сторон, то периметр треугольника ABD равен:

Периметр ABD = AB + AD + BD
Периметр ABD = 10 + 12.5 + 7.5
Периметр ABD = 30 см