1. Докажите равенство треугольников ABD и CBD (рис. 44), если AB = BC и ∠ABD =∠CBD. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания.

3. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки M и K так, что ∠ABM =∠CBK, точка M лежит между точками A и K. Докажите, что AM = CK.

4. Известно, что AB = AD и BC = DC (рис. 45). Докажите, что BO = DO. Медиана BM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе AD. Найдите сторону AC, если AB = 7 см.

1. Для доказательства равенства треугольников ABD и CBD мы можем использовать угловое равенство и сторону AB, которая равна стороне BC.

У нас есть следующие данные:
AB = BC (дано)
∠ABD = ∠CBD (дано)

Чтобы доказать равенство треугольников, мы должны показать, что все стороны и углы одного треугольника равны соответственным сторонам и углам другого треугольника.

По условию:
AD = AD (так как это общая сторона)
AB = BC (дано)
∠ABD = ∠CBD (дано)

Таким образом, мы видим, что все стороны и углы одного треугольника равны соответствующим сторонам и углам другого треугольника, и поэтому мы можем заключить, что треугольники ABD и CBD равны.

2. Для нахождения сторон равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания, мы можем использовать следующий подход.

Пусть основание треугольника равно х см, тогда боковая сторона будет равна (х-6) см.

У нас есть следующие данные:
Периметр треугольника = 30 см
Боковая сторона = х-6 см
Основание треугольника = х см

Периметр треугольника равен сумме всех его сторон. Так как треугольник равнобедренный, то боковые стороны равны.

Поэтому, периметр треугольника = боковая сторона + боковая сторона + основание треугольника
30 см = (х-6) см + (х-6) см + х см

Раскроем скобки:
30 см = 2х - 12 см + х см

Соберем все х см в одну часть:
30 см = 3х - 12 см

Добавим 12 см к обеим сторонам:
30 см + 12 см = 3х - 12 см + 12 см

42 см = 3х

Разделим обе стороны на 3:
42 см / 3 = 3х / 3

14 см = х

Таким образом, основание треугольника равно 14 см, а боковая сторона равна (14-6) см или 8 см.

3. Для доказательства AM = CK, когда ∠ABM = ∠CBK, мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника и свойства вертикальных углов.

У нас есть следующие данные:
∠ABM = ∠CBK (дано)
Треугольник ABC равнобедренный

Так как треугольник ABC равнобедренный, то стороны AM и CK равны соответствующим основаниям треугольника.

Поэтому, AM = AC и CK = AC.

Мы также знаем, что вертикальные углы равны. То есть, ∠ABM и ∠CBK - это вертикальные углы, и они равны.

Таким образом, у нас есть:
∠ABM = ∠CBK (дано)
AM = AC (равнобедренность треугольника ABC)
CK = AC (равнобедренность треугольника ABC)

Сравним AM и CK:
AM = AC = CK

Таким образом, мы можем заключить, что AM равно CK.

4. Для доказательства BO = DO, когда AB = AD и BC = DC, мы можем использовать свойства медианы треугольника и свойство равнобедренного треугольника.

У нас есть следующие данные:
AB = AD (дано)
BC = DC (дано)
BM - медиана в треугольнике ABC
AD - биссектриса угла A треугольника ABC

Треугольник ABC имеет две равные стороны AB и BC, поэтому он равнобедренный.

Основание медианы BM разделяет основание треугольника ABC пополам, поэтому AM = MC.

Основание биссектрисы AD также разделяет основание треугольника ABC пополам, поэтому AM = MD.

Таким образом, у нас есть:
AB = AD (дано)
BC = DC (дано)
AM = MC (медиана треугольника)
AM = MD (биссектриса угла A треугольника ABC)

Мы получили, что AM = MC = MD. Это означает, что точки O и D - это середины отрезков AD и BC.

Поэтому, BO = OD.

Чтобы найти сторону AC, нам нужно знать длину AB. В условии дано, что AB = 7 см.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AC = AB.

Таким образом, AC = 7 см.