1 . Докажите равенство треугольников ABD и ACD (рис. 48), если AB = AC и BD = CD. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 40 см, а боковая сторона на 2 см больше основания.

3 . На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки D и E так, что AD = CE, точка D лежит между точками A и E. Докажите, что ∠ABD =∠CBE.

4. Известно, что ∠BST =∠AST и ∠STB =∠STA (рис. 49). Докажите, что BK = AK.

5. Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC, перпендикулярна его медиане CM и делит её пополам. Найдите сторону AC, если AB = 18 см.

​

Объяснение:

1) AD общая

AB=AD

BD=CD

2)BC=x

AB=AC=x+2

P=x+2(x+2)=40

x=12=BC

AB=14

3) тркABD=CBE:

AB=BC

<A=<C

AD=CE

Из этого следует, что <ABD=<CBE

1. Для доказательства равенства треугольников ABD и ACD мы можем использовать два условия: AB = AC и BD = CD.

Сначала рассмотрим стороны треугольников: AB и AC. По условию, AB = AC. Это означает, что стороны AB и AC равны между собой.

Теперь рассмотрим стороны треугольников: BD и CD. По условию, BD = CD. Это означает, что стороны BD и CD равны между собой.

Теперь докажем, что углы треугольников ABD и ACD также равны.

В треугольнике ABD рассмотрим угол ABD. В треугольнике ACD рассмотрим угол ACD.

Так как AB = AC и BD = CD (по условию), то по свойству равенства сторон в треугольнике угол ABD равен углу ACD.

Аналогично, посмотрим на угол BDA в треугольнике ABD и угол CDA в треугольнике ACD.
Так как BD = CD (по условию), то по свойству равенства сторон в треугольнике угол BDA равен углу CDA.

Таким образом, мы доказали, что углы треугольников ABD и ACD равны, а стороны AB и AC, BD и CD равны. Следовательно, треугольники ABD и ACD равны.

2. Пусть основание равнобедренного треугольника равно x см, а боковая сторона равна (x+2) см.

Периметр равнобедренного треугольника равен сумме всех его сторон: x + (x+2) + (x+2) = 3x + 4 см.

По условию, периметр равнобедренного треугольника равен 40 см, поэтому 3x + 4 = 40.

Вычтем 4 из обеих сторон уравнения: 3x = 36.

Разделим обе стороны на 3: x = 12.

Таким образом, основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а боковая сторона равна (12+2) = 14 см.

3. Для доказательства ∠ABD = ∠CBE нам необходимо воспользоваться фактом, что AD = CE.

Рассмотрим треугольники ABD и CBE. У нас есть AD = CE (по условию), значит, стороны AD и CE равны.

Теперь рассмотрим углы треугольников. У нас есть AD = CE (по условию). Зная, что AD и CE равны, мы можем сделать вывод, что угол ABD будет равен углу CBE.

Таким образом, мы доказали, что ∠ABD = ∠CBE.

4. Для доказательства BK = AK мы использовали условие, что ∠BST = ∠AST и ∠STB = ∠STA.

Рассмотрим треугольники AST и BST. Используя условия, мы знаем, что ∠BST = ∠AST и ∠STB = ∠STA.

Рассмотрим углы BAT и BAS в треугольнике BAT. Используя условие, мы знаем, что ∠BST = ∠AST, поэтому ∠BAT = ∠BAS.

Таким образом, по свойству равенства углов в треугольнике, у нас есть два равных угла в треугольнике BAT и треугольнике BAS.

Так как у нас есть два равных угла и одна равная сторона - сторона AB, мы можем заключить, что сторона AB является общей стороной для треугольников BAT и BAS.

Следовательно, мы можем сделать вывод, что BK = AK.

5. Пусть сторона AC треугольника ABC равна x см. Также, пусть точка M - середина медианы CM.

Медиана делятся пополам в точке, через которую проведена прямая, перпендикулярная медиане.

Значит, AM = CM/2 = x/2 см.

Из прямоугольного треугольника ABM мы можем использовать теорему Пифагора, так как у нас есть две известные стороны: AB = 18 см и AM = x/2 см.

AB^2 = AM^2 + BM^2.

18^2 = (x/2)^2 + BM^2.

324 = x^2/4 + BM^2.

Перенесем x^2/4 на другую сторону уравнения: BM^2 = 324 - x^2/4.

Теперь посмотрим на треугольник BCM, который является прямоугольным треугольником.

BC^2 = BM^2 + CM^2.

BC^2 = 324 - x^2/4 + (x/2)^2.

BC^2 = 324 - x^2/4 + x^2/4.

BC^2 = 324.

Так как треугольник ABC является равнобедренным треугольником, стороны BC и AC равны между собой, то есть BC = AC.

BC^2 = AC^2.

324 = AC^2.

AC = √(324).

AC = 18 см.

Таким образом, сторона AC равна 18 см.