1)докажите, что если окружности радиусов r и r с центрами o1 и o2 касаются внешним образом в точке k , а прямая касается этих окружностей в различных точках a и b и пересекается с общей касательной, проходящей через точку k , в точке c, то ∠ akb =90 и ∠ o1co2= 90 , а отрезок ab общей внешней касательной окружностей равен отрезку общей внутренней касательной, заключённому между общими внешними, и равен 2 rr . 2) докажите, что если прямые, проходящие через точку a, касаются окружности s в точках b и c, то центр вписанной окружности треугольника abc лежит на окружности s .

Решение.
Возможны два случая взаимного расположения прямой и окружностей.

1. Пусть окружность с центром О1 имеет радиус r , окружность центром O2 имеет радиус R, а окружность с центром O имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a.

Обозначим через A, B и C точки касания окружностей с прямой a, а через K, M и N — точки касания самих окружностей. Отрезки O1A, O2B и OC перпендикулярны прямой a как радиусы, проведенные в точки касания.

Опустим перпендикуляр O1D из центра меньшей из данных окружностей на радиус O2B большей окружности и перпендикуляры OE и OF из точки O на радиусы O1A и O2B. Поскольку O1A // (палочи прямые) O2B , точки E, O и F лежат на одной прямой, а так как O1DFE — прямоугольник, то O1D=EF.

Кроме того: O1O = r+x, O1O2 = r+R , O2O = R+x , O1E = r-x , O2D = R-r , O1D =EF=EO+OF , O2F = R-x.

Далее имеем:

(R+r)^2 - (R-r)^2 (все выражение под корнем) = (r+x)^2 - (r-x)^2(все выражение под корнем) = (R+x)^2 - (R-x)^2;

2*Rx (Rx под корнем) = 2* rx (rx под корнем) + 2*Rx (Rx под корнем)

2. Пусть теперь окружность с центром O1 имеет радиус R, окружность с центром O имеет радиус r, а окружность центром O2 имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a (см. тот же рисунок). Аналогично случаю 1 имеем:

(x+R)^2 - (x-R)^2 (все выражение под корнем) = (R+r)^2 - (R-r)^2 (все выражение под корнем) + (x+r )^2 - (x-r)^2(все выражение под корнем) ;

2*Rx(Rx под корнем) = 2* Rr(Rr под корнем) +2*rx(rx под корнем)