№1. диагонали прямоугольника abcd пересекаются в точке о, ∟аво=360. найдите угол aod.

Дано :

Четырёхугольник ABCD — прямоугольник.

Отрезки АС и BD — диагонали.

Точка О — точка пересечения диагоналей.

∠ABD = 36°.

Найти :

∠АOD = ?

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Отсюда —

АО = ОС = ВО = OD.

Рассмотрим прямоугольный ∆ABD.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Следовательно —

∠ABD + ∠BDA = 90°

∠BDA = 90° - ∠ABD

∠BDA = 90° - 36°

∠BDA = 54°.

Рассмотрим ∆AOD — равнобедренный.

У равнобедренного треугольника углы при основании равны.

Следовательно —

∠ODA = ∠OAD = 54°.

По теореме о сумме углов треугольника —

∠ODA + ∠OAD + ∠AOD = 180°

54° + 54° + ∠AOD = 180°

108° + ∠AOD = 180°

∠AOD = 72°.

72°.

Т.к. диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то ВО=АО,  какуглы при основании равнобедренного ΔАОВ, а по свойству внешнего угла при вершине О равен сумме двух внутренних, с ним не смежных, т.е. ∠АОD=36°+36°=72°