1. даны векторы a{1,3}, b{-5,3}, c{-1,3}. разложите вектор c по векторам a и b.
2. дан ромб авсd. разложите векторы ab,bc, ad,dc по векторам ac и bd.
3. известно, что | a |=3, | b |=4, угол (a,b)=120 град. вычислите: а) (2a-b)(3a+b); б) | 3a+b |.
4. доказать, что точки а(2, 2), в(–1, 6), с(–5, 3), d(–2, –1) являются вершинами
квадрата.
5. на оси ординат найти такую точку м, расстояние от которой до точки
n(–8, 13) равнялось бы 17.
6. даны вершины треугольника а(1, 4), в(3, –9), с(–5, 2). определить длину его медианы, проведенной из вершины в.
7. даны вершины треугольника а(3, –5), в(–3, 3), с(–1, –2). определить длину его биссектрисы, проведенной из вершины а.
8. составить уравнение прямой, если точка р(2, 3) служит основанием
перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.
9. даны вершины треугольника а(1, –1), в(–2, 1), с(3, 5). составить уравнение
перпендикуляра, опущенного из вершины а на медиану, проведенную из вершины в.
10. дана прямая 2x+3y+4=0. составить уравнение прямой, проходящей через точку м(2, 1) под углом 45 град. к данной прямой.

1. Для разложения вектора c по векторам a и b, мы должны найти коэффициенты k1 и k2 такие, что c = k1 * a + k2 * b.

У нас есть векторы a{1,3}, b{-5,3}, c{-1,3}. Представим вектор c в виде c{c1, c2}.

Теперь мы можем записать систему уравнений:
c1 = k1*1 + k2*(-5)
c2 = k1*3 + k2*3

Решим данную систему уравнений.
Для этого умножим первое уравнение на 3 и второе уравнение на 1:
3c1 = 3k1 - 15k2
c2 = 3k1 + 3k2

Теперь сложим оба уравнения:
3c1 + c2 = 4k1 - 12k2

Известно, что c1 = -1 и c2 = 3:
3*(-1) + 3 = 4k1 - 12k2
-3 + 3 = 4k1 - 12k2
0 = 4k1 - 12k2
0 = 4(k1 - 3k2)

Таким образом, k1 = 3k2.

Давайте выберем любое значение для k2, например, k2 = 1.

Тогда k1 = 3 * 1 = 3.

Подставим значения k1 и k2 в исходное уравнение:
c = 3a + 1b
c = 3{1,3} + 1{-5,3}
c = {3,9} + {-5,3}
c = {-2,12}

Ответ: Разложение вектора c по векторам a и b будет {-2,12}.

2. Рассмотрим ромб ABCD. Представим векторы AB, BC, AD и DC в виде AB{ab1, ab2}, BC{bc1, bc2}, AD{ad1, ad2} и DC{dc1, dc2} соответственно.

Чтобы разложить векторы по векторам AC и BD, мы должны найти соответствующие коэффициенты.

Разложение вектора AB по вектору AC:
AB = k1 * AC

Разложение вектора AB по вектору BD:
AB = k2 * BD

Аналогично разложим векторы BC, AD и DC.

Теперь у нас есть система уравнений:
AB = k1 * AC
AB = k2 * BD
BC = k3 * AC
BC = k4 * BD
AD = k5 * AC
AD = k6 * BD
DC = k7 * AC
DC = k8 * BD

Из первого уравнения: AB/AC = k1. Из второго уравнения: AB/BD = k2.
Из третьего уравнения: BC/AC = k3. Из четвертого уравнения: BC/BD = k4.
И так далее для остальных уравнений.

Рассмотрим отношение длин векторов:
AB/AC = (AB1/AC1, AB2/AC2)
AB/BD = (AB1/BD1, AB2/BD2)
BC/AC = (BC1/AC1, BC2/AC2)
BC/BD = (BC1/BD1, BC2/BD2)
AD/AC = (AD1/AC1, AD2/AC2)
AD/BD = (AD1/BD1, AD2/BD2)
DC/AC = (DC1/AC1, DC2/AC2)
DC/BD = (DC1/BD1, DC2/BD2)

Мы знаем следующие соотношения между векторами AB, BC, AD и DC:
AB = -DC
BC = -AD

Из этих соотношений мы видим, что AB и DC одновременно раскладываются по AC и BD, а также BC и AD одновременно раскладываются по AC и BD.

Таким образом, к1 = -k7 и k2 = -k8 для AB и DC.
И к3 = -k5 и k4 = -k6 для BC и AD.

Давайте проиллюстрируем это с использованием вектора AB:
AB/AC = (ab1/ac1, ab2/ac2)
AB/BD = (ab1/bd1, ab2/bd2)

Из ранее установленных равенств:
-DC/AC = (dc1/ac1, dc2/ac2)
-DC/BD = (dc1/bd1, dc2/bd2)

Теперь мы можем записать уравнения:
(ab1/ac1, ab2/ac2) = - (dc1/ac1, dc2/ac2)
(ab1/bd1, ab2/bd2) = - (dc1/bd1, dc2/bd2)

Более подробное решение для каждого вектора может быть слишком длинным, но вот пример для вектора AB:

ab1/ac1 = -dc1/ac1
ab2/ac2 = -dc2/ac2

ab1/bd1 = -dc1/bd1
ab2/bd2 = -dc2/bd2

То есть каждая компонента вектора AB должна быть пропорциональна соответствующей компоненте вектора DC.

Аналогично нужно проверить и для других векторов: BC, AD и DC.

3. а) Дано |a| = 3, |b| = 4, угол (a, b) = 120 градусов. Требуется найти (2a-b)(3a+b) и |3a+b|.

Начнем с первого выражения:
(2a-b)(3a+b) = 2a * 3a + 2a * b - b * 3a - b * b
= 6a^2 + 2ab - 3ab - b^2
= 6a^2 - ab - b^2

Теперь рассмотрим второе выражение:
|3a+b| = sqrt((3a + b)^2)
= sqrt(9a^2 + 6ab + b^2)

Здесь мы используем свойство модуля: |x^2| = x^2.

4. Для доказательства, что точки A(2, 2), B(-1, 6), C(-5, 3) и D(-2, -1) являются вершинами квадрата, мы должны убедиться, что стороны квадрата имеют одинаковую длину.

Найдем длину сторон квадрата AB, BC, CD и DA:

AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
= sqrt((-1 - 2)^2 + (6 - 2)^2)
= sqrt((-3)^2 + (4)^2)
= sqrt(9 + 16)
= sqrt(25)
= 5

BC = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
= sqrt((-5 - (-1))^2 + (3 - 6)^2)
= sqrt((-4)^2 + (-3)^2)
= sqrt(16 + 9)
= sqrt(25)
= 5

CD = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
= sqrt((-2 - (-5))^2 + (-1 - 3)^2)
= sqrt((3)^2 + (-4)^2)
= sqrt(9 + 16)
= sqrt(25)
= 5

DA = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
= sqrt((2 - (-2))^2 + (2 - (-1))^2)
= sqrt((4)^2 + (3)^2)
= sqrt(16 + 9)
= sqrt(25)
= 5

Таким образом, AB = BC = CD = DA = 5. Длины всех сторон квадрата одинаковы, поэтому точки A, B, C и D являются вершинами квадрата.

5. Чтобы найти точку M на оси ординат, расстояние от которой до точки N(-8, 13) равно 17, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

Формула расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) выглядит следующим образом:
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

В данном случае, x1 = 0 (так как точка M лежит на оси ординат), y1 = y2 = 0 (так как точка N лежит на оси ординат), и d = 17.

Используя формулу расстояния, мы можем записать уравнение:
17 = sqrt((-8 - 0)^2 + (13 - 0)^2)

Отсюда получаем:
289 = 64 + 169

Уравнение верно, значит, точка M должна иметь координаты (0, 17), чтобы расстояние от нее до точки N было равно 17.

6. Чтобы найти длину медианы треугольника, проведенной из вершины В, мы можем использовать формулу для длины медианы:

Длина медианы, проведенной из вершины В, равна половине длины стороны AC.

Длина стороны AC вычисляется по формуле:
AC = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

В данном случае x1 = 1, y1 = 4, x2 = -5 и y2 = 2:

AC = sqrt((-5 - 1)^2 + (2 - 4)^2)
= sqrt((-6)^2 + (-2)^2)
= sqrt(36 + 4)
= sqrt(40)
= 2*sqrt(10)

Таким образом, длина медианы, проведенной из вершины В треугольника ABC, равна половине длины стороны AC, то есть sqrt(10).

7. Чтобы найти длину биссектрисы треугольника, проведенной из вершины А, мы можем использовать формулу для длины биссектрисы:

Длина биссектрисы, проведенной из вершины А, равна произведению длины стороны BC на отношение треугольниками AB и AC.

Длина стороны BC вычисляется по формуле:
BC = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

В данном случае x1 = -3, y1 = 3, x2 = -1 и y2 = -2:

BC = sqrt((-1 - (-3))^2 + (-2 - 3)^2)
= sqrt((2)^2 + (-5)^2)
= sqrt(4 + 25)
= sqrt(29)

Разделение треугольника ABC на два треугольника ABM и ACM, где M - точка биссектрисы, позволяет нам использовать отношение сторон AB и AC. Мы знаем, что AM делит BC на две части в отношении сторон AB и AC.

То есть AM/MB = AC/BC.

Таким образом, M = AB / (AB + AC) * C + AC / (AB + AC) * B.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы:

BM = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

В данном случае x1 = -5, y1 = 3, x2 = -1 и y2 = -2:

BM = sqrt((-1 - (-5))^2 + (-2 - 3)^2)
= sqrt((4)^2 + (-5)^2)
= sqrt(16 + 25)
= sqrt(41)

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы:

ABM = AB * AM / MB
= sqrt(29) * (sqrt(29) / (sqrt(29) + sqrt(41)))

ACM = AC * AM / MC
= sqrt(29) * (sqrt(41) / (sqrt(29) + sqrt(41)))

Для вычисления длины биссектрисы из вершины А удобнее использовать формулу:
BC * AM/MB
= sqrt(29) * (sqrt(29) / (sqrt(29) + sqrt(41)))

Таким образом, длина биссектрисы в треугольнике ABC, проведенной из вершины А, равна sqrt(29) * (sqrt(29) / (sqrt(29) + sqrt(41)).

8. Чтобы составить уравнение прямой, если точка P(2, 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую, мы можем использовать формулу для на