1. Даны три точки с координатами: P(4; 0; 0), K(0; 2; 0), T(2; 0; 4).
а) Постройте их в прямоугольной системе координат.
б) Укажите, на каких координатных осях или в каких координатных плоскостях они находятся.
в) Докажите, что треугольник PKT – равнобедренный.
г) Вычислите площадь треугольника PKT.

а) Чтобы построить точки P(4; 0; 0), K(0; 2; 0), T(2; 0; 4) в прямоугольной системе координат, мы должны построить три отрезка, соединяющих эти точки с началом координат (0; 0; 0).

Начнем с точки P(4; 0; 0). Мы откладываем 4 единицы вдоль положительного направления оси x и не откладываем ничего вдоль осей y и z, поскольку y и z координаты равны 0.

Затем строим точку K(0; 2; 0). Мы откладываем 2 единицы вдоль положительного направления оси y и не откладываем ничего вдоль осей x и z, поскольку x и z координаты равны 0.

Наконец, строим точку T(2; 0; 4). Мы откладываем 2 единицы вдоль положительного направления оси x, не откладываем ничего вдоль оси y и откладываем 4 единицы вдоль положительного направления оси z.

Итак, построены точки P, K и T в прямоугольной системе координат.

б) Точка P находится на оси x, поскольку ее координаты y и z равны 0.
Точка K находится на оси y, поскольку ее координаты x и z равны 0.
Точка T находится на плоскости xy, поскольку ее координата z равна 0.

в) Чтобы доказать, что треугольник PKT равнобедренный, нам нужно установить, что две его стороны равны.

1) Длина стороны PK:
PK = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]
PK = √[(0 - 4)² + (2 - 0)² + (0 - 0)²]
PK = √[(-4)² + 2² + 0²]
PK = √[16 + 4 + 0]
PK = √20
PK = 2√5

2) Длина стороны KT:
KT = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]
KT = √[(2 - 0)² + (0 - 2)² + (4 - 0)²]
KT = √[2² + (-2)² + 4²]
KT = √[4 + 4 + 16]
KT = √24
KT = 2√6

Мы видим, что PK = KT = 2√5 = 2√6, поэтому треугольник PKT равнобедренный.

г) Чтобы вычислить площадь треугольника PKT, мы можем использовать формулу площади треугольника, которая основана на длинах его сторон.

Используем формулу Герона:

Полупериметр (p) = (PK + KT + PT) / 2
p = (2√5 + 2√6 + 2√5) / 2
p = (√5 + √6 + √5)
p = 2√5 + √6

Теперь вычислим площадь треугольника PKT:

Площадь (S) = √[p(p - PK)(p - KT)(p - PT)]
S = √[(2√5 + √6)(2√5 + √6 - 2√5)(2√5 + √6 - 2√6)(2√5 + √6 - 2√5)]
S = √[(2√5 + √6)(√6)(√5)(√5)]
S = √[2√5√6√6√5]
S = √[2√30√30]
S = √[2 * 30]
S = √60
S = 2√15

Площадь треугольника PKT равна 2√15 или примерно 8.66 единиц квадратных (округлено до двух десятичных знаков).