1. даны точки А(-1;3;4), В(5;9;3). Найти середину отрезка АВ, Найти координаты точки С, если точка В является серединой отрезка АС, найти расстояние от точки А до плоскости Оху.

2. Даны векторы а{-3;1;10}, b{12;3;2}. Найти сумму длин векторов, длину разности векторов.

3. Даны точки А(2;0;3), B(0;1;2), C(1;2;4). Докажите что треугольник АВС равнобедренный. Найдите длину средний линии треугольника, соединяющий его боковые стороны.

1. Чтобы найти середину отрезка AB, нужно найти средние значения координат точек A и B.

Середина отрезка AB имеет координаты, равные средним значениям соответствующих координат точек A и B:
x-координата середины = (x-координата A + x-координата B) / 2
y-координата середины = (y-координата A + y-координата B) / 2
z-координата середины = (z-координата A + z-координата B) / 2

Для данной задачи:
x-координата середины = (-1 + 5) / 2 = 2/2 = 1
y-координата середины = (3 + 9) / 2 = 12/2 = 6
z-координата середины = (4 + 3) / 2 = 7/2 = 3.5

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны (1, 6, 3.5).

Чтобы найти координаты точки C, если точка B является серединой отрезка АС, нужно использовать формулу середины отрезка.

По формуле середины отрезка AC:
x-координата C = 2 * x-координата B - x-координата A
y-координата C = 2 * y-координата B - y-координата A
z-координата C = 2 * z-координата B - z-координата A

Подставим значения из задачи и рассчитаем координаты точки C:
x-координата C = 2 * 5 - (-1) = 10 + 1 = 11
y-координата C = 2 * 9 - 3 = 18 - 3 = 15
z-координата C = 2 * 3 - 4 = 6 - 4 = 2

Таким образом, координаты точки C равны (11, 15, 2).

Чтобы найти расстояние от точки A до плоскости Оху, нужно найти расстояние от точки A до плоскости, проходящей через точку O(0, 0, 0) и параллельной плоскости Оху.

Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:
d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)

Плоскость, проходящая через точку O и параллельная плоскости Оху, имеет уравнение z = 0. Подставим координаты точки A в уравнение плоскости:
-1(0) + 3(0) + 4z + D = 0
4z + D = 0
4z = -D
z = -D/4

Расстояние от точки A до плоскости Оху:
d = |-1(0) + 3(0) + 4(-D/4) + D| / √((0)^2 + (0)^2 + (4)^2)
d = |-D + D| / √(16)
d = 0 / 4
d = 0

Таким образом, расстояние от точки A до плоскости Оху равно 0.

2. Для данной задачи, чтобы найти сумму длин векторов а и b, нужно сложить длины этих векторов.

Длина вектора находится по формуле:
|a| = √(x^2 + y^2 + z^2)

Для вектора а(-3, 1, 10):
|a| = √((-3)^2 + 1^2 + 10^2)
|a| = √(9 + 1 + 100)
|a| = √(110)

Для вектора b(12, 3, 2):
|b| = √(12^2 + 3^2 + 2^2)
|b| = √(144 + 9 + 4)
|b| = √(157)

Сумма длин векторов |a| + |b| = √(110) + √(157).

Чтобы найти длину разности векторов, нужно вычесть один вектор из другого и найти длину получившегося вектора.

Разность векторов определяется как b - a:
b - a = (12 - (-3), 3 - 1, 2 - 10)
b - a = (15, 2, -8)

Длина разности векторов |b - a| = √(15^2 + 2^2 + (-8)^2).
|b - a| = √(225 + 4 + 64)
|b - a| = √(293)

Таким образом, сумма длин векторов |a| + |b| равна √(110) + √(157), а длина разности векторов |b - a| равна √(293).

3. Чтобы доказать, что треугольник АВС равнобедренный, нужно проверить, равны ли длины двух его сторон.

Для треугольника АВС с вершинами А(2, 0, 3), В(0, 1, 2) и С(1, 2, 4):

Длина стороны АВ можно найти по формуле длины вектора: |AB| = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2].
|AB| = √[(0 - 2)^2 + (1 - 0)^2 + (2 - 3)^2]
|AB| = √[(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2]
|AB| = √[4 + 1 + 1]
|AB| = √6

Длина стороны AC можно найти аналогичным способом: |AC| = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2].
|AC| = √[(1 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (4 - 3)^2]
|AC| = √[(-1)^2 + 2^2 + 1^2]
|AC| = √[1 + 4 + 1]
|AC| = √6

Таким образом, получается, что |AB| = |AC| = √6. Обе стороны треугольника АВС равны.

Чтобы найти длину средней линии треугольника, соединяющей его боковые стороны, нужно найти длину вектора, проведённого из середины стороны AB до середины стороны AC.

Для этого нам нужно найти середины сторон AB и AC:

Середина стороны AB:
x-координата = (x-координата A + x-координата B) / 2 = (2 + 0) / 2 = 1
y-координата = (y-координата A + y-координата B) / 2 = (0 + 1) / 2 = 0.5
z-координата = (z-координата A + z-координата B) / 2 = (3 + 2) / 2 = 2.5

Середина стороны AC:
x-координата = (x-координата A + x-координата C) / 2 = (2 + 1) / 2 = 1.5
y-координата = (y-координата A + y-координата C) / 2 = (0 + 2) / 2 = 1
z-координата = (z-координата A + z-координата C) / 2 = (3 + 4) / 2 = 3.5

Проведем вектор из середины стороны AB (1, 0.5, 2.5) до середины стороны AC (1.5, 1, 3.5):
(1.5 - 1, 1 - 0.5, 3.5 - 2.5)
(0.5, 0.5, 1)

Длина средней линии треугольника, соединяющей его боковые стороны, равна длине вектора (0.5, 0.5, 1):
|средняя линия| = √(0.5^2 + 0.5^2 + 1^2)
|средняя линия| = √(0.25 + 0.25 + 1)
|средняя линия| = √1.5

Таким образом, длина средней линии треугольника, соединяющей его боковые стороны, равна √1.5.