1. bd=ac и bc = ad. докажите, что adb = acb.

2. в mnk mn = nk, nc – медиана, mnk = 120°. найдите mnc.
3. периметр равнобедренного треугольника равен 13,6см. его основание меньше боковой стороны на 2 см. найдите стороны треугольника.
4. на сторонах угла а отмечены точки м и k так, что ам = аk. точка р лежит внутри угла а и рk = рм. докажите, что луч ар – биссектриса угла маk.

1. В данной задаче нам дано, что bd=ac и bc=ad. Нам нужно доказать, что угол adb равен углу acb.

Доказательство:
Посмотрим на треугольники adb и acb. У них есть общая сторона ab. Из условия задачи мы знаем, что bd=ac и bc=ad. Таким образом, мы имеем две равные стороны ab и дополнительно равные стороны bd и ac.

По свойству треугольника, если у двух треугольников равны две стороны и у них общая сторона, то эти треугольники равны по стороне-стороне-стороне. Это означает, что все остальные стороны и углы данных треугольников также равны.

Таким образом, мы можем заключить, что угол adb равен углу acb.

2. В данной задаче нам дано, что mn=nk, nc – медиана, и угол mnk равен 120 градусов. Нам нужно найти угол mnc.

Решение:
Посмотрим на треугольник mnk. У него дано, что mn=nk, то есть это равнобедренный треугольник. Медиана nc делит сторону mk пополам, и угол mnk равен 120 градусов.

У равнобедренного треугольника медиана, проведенная из вершины угла, делит этот угол пополам. Таким образом, угол mnc равен половине угла mnk, то есть 120/2 = 60 градусов.

Итак, угол mnc равен 60 градусов.

3. Периметр равнобедренного треугольника равен 13,6 см. Его основание меньше боковой стороны на 2 см. Нам нужно найти стороны треугольника.

Решение:
Обозначим основание треугольника через x, а боковую сторону через y.

По условию задачи имеем систему уравнений:
x + y + y = 13,6 (периметр равнобедренного треугольника равен сумме всех его сторон)
x = y + 2 (основание меньше боковой стороны на 2 см)

Подставим значение x из второго уравнения в первое:
(y + 2) + y + y = 13,6
3y + 2 = 13,6
3y = 11,6
y ≈ 3,8667

Теперь найдем значение x, подставив значение y во второе уравнение:
x = (3,8667) + 2
x ≈ 5,8667

Таким образом, стороны треугольника примерно равны x ≈ 5,8667 см и y ≈ 3,8667 см.

4. В данной задаче нам дано, что угол ам равен углу ак, точка р лежит внутри угла а, и рк = рм. Нам нужно доказать, что луч ар является биссектрисой угла мак.

Доказательство:
Возьмем точку с на луче ар и соединим ее с точками м и к. Посмотрим на треугольник амк. У него дано, что угол ам равен углу ак и у нас есть равенство рк = рм.

У равных углов, образованных пересечениями двух прямых и прямой, проходящей через одну из них, биссектрисы совпадают. Таким образом, мы можем заключить, что луч ар является биссектрисой угла мак.

Окончательное доказательство:
У нас есть два равных угла: угол ам и угол ак. У нас также есть равный отрезок рк = рм. Следовательно, по определению, луч ар является биссектрисой угла мак.