1. ΔАВС~ΔА1В1С1, АВ и А1В1 сходственные стороны треугольников, АВ:А1В1=4:3, АВ=8 см; АС=12см; ВС=16см. Найдите стороны ΔА1В1С1.

2. ΔMNK~ΔM1N1K1 , MN=10 см, MK=12см, NK=13см. Периметр ΔM1N1K1 равен 140 см2. Найдите стороны ΔM1N1K1.
Найдите площадь ΔM1N1K1, если известно, что площадь ΔMNK равна 32,5 см2.

3.Периметры подобных треугольников относятся 2:3, сумма их площадей равна 260 см2. Найдите площадь каждого треугольника.

1. Для начала, давай определим пропорцию между сторонами треугольников ΔАВС и ΔА1В1С1. Мы знаем, что АВ:А1В1=4:3. Так как АВ=8 см, мы можем вычислить длину стороны А1В1 следующим образом:

АВ / А1В1 = 4 / 3

8 / А1В1 = 4 / 3

А1В1 = 8 * 3 / 4

А1В1 = 6 см

Теперь, когда у нас есть длина стороны А1В1, мы можем найти длину остальных сторон треугольника ΔА1В1С1 с помощью пропорций.

Исходя из сходственности треугольников, отношение сторон ΔАВС и ΔА1В1С1 будет равно, поэтому можем установить следующую пропорцию:

АВ / А1В1 = АС / А1С1 = ВС / В1С1

8 / 6 = 12 / А1С1 = 16 / В1С1

Для нахождения длин сторон А1С1 и В1С1, мы можем использовать данную пропорцию и решить уравнение.

12 / А1С1 = 8 / 6

Перекрестное умножение:

12 * 6 = 8 * А1С1

72 = 8 * А1С1

А1С1 = 72 / 8

А1С1 = 9 см

Используя найденные значения длин сторон, мы можем найти все стороны треугольника ΔА1В1С1:

А1В1 = 6 см
А1С1 = 9 см
В1С1 = 12 см

2. Перейдем к задаче о подобных треугольниках ΔMNK и ΔM1N1K1. Мы знаем длины сторон треугольника ΔMNK (MN=10 см, MK=12 см, NK=13 см) и периметр треугольника ΔM1N1K1 (140 см2).

Периметр треугольника - это сумма длин его сторон. Поэтому, чтобы найти длины сторон ΔM1N1K1, мы должны использовать пропорции, исходя из сходственности треугольников.

MN / M1N1 = MK / M1K1 = NK / N1K1

10 / M1N1 = 12 / M1K1 = 13 / N1K1

Давайте обозначим длины сторон ΔM1N1K1 как M1N1, M1K1 и N1K1.

Для M1N1:

10 / M1N1 = 12 / M1K1 = 13 / N1K1

10 / M1N1 = 12 / M1K1

10 * M1K1 = 12 * M1N1

M1K1 = 12 * M1N1 / 10

M1K1 = 6 / 5 * M1N1

Для N1K1:

10 / M1N1 = 13 / N1K1

10 * N1K1 = 13 * M1N1

N1K1 = 13 * M1N1 / 10

Теперь у нас есть выражения для длин сторон M1K1 и N1K1 через M1N1, и мы также знаем, что периметр ΔM1N1K1 равен 140 см.

Периметр ΔM1N1K1 = M1N1 + M1K1 + N1K1 = 140

M1N1 + 6/5 * M1N1 + 13/10 * M1N1 = 140

Находим общий знаменатель:

10/10 * M1N1 + 6/5 * M1N1 + 13/10 * M1N1 = 140

(10 + 12 + 13) / 10 * M1N1 = 140

35 / 10 * M1N1 = 140

Перекрестное умножение:

35 * M1N1 = 140 * 10

35 * M1N1 = 1400

M1N1 = 1400 / 35

M1N1 = 40 см

Теперь, используя найденные значения длин сторон, мы можем рассчитать площадь треугольника ΔM1N1K1, если известно, что площадь ΔMNK равна 32,5 см2.

Мы знаем, что отношение площадей подобных треугольников равно квадратам отношений их сторон.

Площадь ΔM1N1K1 / Площадь ΔMNK = (M1N1 / MN)^2 = (M1K1 / MK)^2 = (N1K1 / NK)^2

Подставляем известные значения:

Площадь ΔM1N1K1 / 32,5 см2 = (40 / 10)^2

Площадь ΔM1N1K1 / 32,5 см2 = 4^2

Площадь ΔM1N1K1 / 32,5 см2 = 16

Площадь ΔM1N1K1 = 16 * 32,5 см2

Площадь ΔM1N1K1 = 520 см2

3. Наконец, рассмотрим третий вопрос о площади каждого треугольника, если известно, что периметры подобных треугольников относятся 2:3, а сумма их площадей равна 260 см2.

Так как периметры треугольников относятся 2:3, их стороны также относятся 2:3. Пусть x будет общим множителем, масштабирующим треугольники.

Периметр первого треугольника = 2x
Периметр второго треугольника = 3x

Теперь, мы также знаем, что сумма площадей треугольников равна 260 см2.

Мы можем использовать формулу для площади треугольника:

Площадь = (1/2) * a * b * sin(C)

Где a и b - стороны треугольника, а C - угол между ними.

Так как стороны треугольников относятся 2:3, мы можем представить их в виде 2x и 3x, и получим:

(1/2) * (2x) * (3x) * sin(C) + (1/2) * (3x) * (2x) * sin(C) = 260 см2

3x^2 * sin(C) + 2x^2 * sin(C) = 260 см2

5x^2 * sin(C) = 260 см2

sin(C) = 260 см2 / 5x^2

Теперь мы знаем, что синусы углов треугольников ΔАВС и ΔА1В1С1 равны, потому что они являются сходственными треугольниками:

sin(∠АВС) = sin(∠А1В1С1)

(260 см2 / 5x^2) = (260 см2 / 5x^2)

Таким образом, площади обоих треугольников равны 260 см2 каждая.