№1 АA 1 – биссектриса угла треугольника АВС, причём АС = 24 см, АВ = 18 см, ВA 1 = 6 см. Найдите A 1 C. Выберите верный ответ.

а) 8см б) 4см в) 6см г) 3 см

№2 Площади двух подобных треугольников равны 25 см 2 и 49 см 2 . Одна из

сторон первого треугольника 20 см. Найдите сходственную ей сторону

второго треугольника. Выберите правильный ответ.

а) 28 см б) 50 см в)56 см г)14 см

№3 Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, причём

АВ : А 1 В 1 = АС : А 1 С 1 = ВС : В 1 С 1 = 3:4.

Найдите отношение площадей треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 .

№4 Треугольники АВС и МNК подобны. Стороны АВ и МN − сходственные,

АС и МK – сходственные. Найдите периметр треугольника MNK,

если AB =14см, BC =16см, AC = 18см и MK : AC = 1 : 2.

№1 Для решения данной задачи мы должны использовать свойство биссектрисы угла треугольника.

Согласно данному свойству, если биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на две части, то отношение этих частей равно отношению двух других сторон треугольника.

Таким образом, мы можем построить пропорцию: АС : A1C = AB : A1B.

Подставляя известные значения, получаем: 24 : A1C = 18 : 6.

Далее, решим эту пропорцию:
24 * 6 = 18 * A1C,
144 = 18 * A1C,
A1C = 144 / 18,
A1C = 8.

Значит, A1C равно 8 см. Ответ: а) 8 см.

№2 Площади двух подобных треугольников относятся между собой как квадраты соответствующих сторон.

Пусть сторона первого треугольника равна x, а сторона второго треугольника равна y.

Тогда имеем следующую пропорцию: 25 / 49 = x^2 / y^2.

Решим пропорцию:
25 * y^2 = 49 * x^2,
y^2 = 49x^2 / 25,
y = sqrt(49x^2 / 25),
y = (7x) / 5.
Таким образом, сходственная сторона второго треугольника равна (7x) / 5.

Подставляя известное значение x = 20, получаем:
y = (7 * 20) / 5,
y = 28.

Значит, сходственная сторона второго треугольника равна 28 см. Ответ: а) 28 см.

№3 Для решения данной задачи мы должны использовать свойства подобных треугольников.

Если два треугольника подобны, то отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения соответствующих сторон.

Задано, что AB : A1B = AC : A1C = BC : B1C = 3:4.

Тогда пусть AB = 3x, A1B = 4x, AC = 3y, A1C = 4y, BC = 3z, B1C = 4z, где x, y и z - некоторые числа.

Таким образом, у нас есть соотношение сторон треугольников.

Поскольку площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними, получим следующие формулы для площадей треугольников:

S_ABC = (1/2) * AB * AC * sin(A) = (1/2) * (3x) * (3y) * sin(A) = (9/2) * x * y * sin(A),
S_A1B1C1 = (1/2) * A1B * A1C * sin(A1) = (1/2) * (4x) * (4y) * sin(A1) = (8/2) * x * y * sin(A1).

Теперь найдем отношение площадей треугольников:
S_ABC / S_A1B1C1 = [(9/2) * x * y * sin(A)] / [(8/2) * x * y * sin(A1)] = (9/8) * sin(A) / sin(A1).

Поскольку углы треугольников АВС и А1В1С1 противоположны соответствующим сторонам, sin(A) / sin(A1) = BC / B1C = 3z / 4z = 3/4.

Тогда отношение площадей треугольников равно (9/8) * (3/4) = 27/32.

Значит, отношение площадей треугольников АВС и А1В1С1 равно 27/32. Ответ: нет подходящего варианта.

№4 Для решения данной задачи мы также будем использовать свойства подобных треугольников.

Поскольку треугольники АВС и МNK подобны, то отношения длин соответственных сторон равны.

Задано, что MK : AC = 1 : 2. Тогда пусть MK = x и AC = 2x, где x - некоторое число.

Таким образом, у нас есть соотношение сторон треугольников.

Теперь найдем отношения других сторон:
AB : MN = AC : MK = 2 : x,
BC : NK = AC : MK = 2 : x.

Зная, что AB = 14 см и BC = 16 см, мы можем найти MN и NK.

Используя пропорции:
14 : MN = 2 : x,
16 : NK = 2 : x.

Решим первую пропорцию:
14 * x = 2 * MN,
x = (2 * MN) / 14,
x = MN / 7.

Вторую пропорцию решим аналогично:
16 * x = 2 * NK,
x = (2 * NK) / 16,
x = NK / 8.

Подставляя значения известных сторон и x = MN / 7 = NK / 8, получаем:
MN / 7 = 2 / x,
MN / 7 = 2 / (MN / 7),
MN^2 = 14,
MN = sqrt(14).

NK / 8 = 2 / x,
NK / 8 = 2 / (NK / 8),
NK^2 = 16,
NK = 4.

Таким образом, MN = sqrt(14) и NK = 4.

Периметр треугольника MNK равен сумме длин его сторон:
P = MN + NK + MK = sqrt(14) + 4 + x.

Подставляя x = MN / 7 = sqrt(14) / 7, получаем:
P = sqrt(14) + 4 + sqrt(14) / 7 = 8 + 2 * sqrt(14) / 7.

Значит, периметр треугольника MNK равен 8 + 2 * sqrt(14) / 7. Ответ: нет подходящего варианта.