Туристическая пещера Золотистая. Ее высота составляет 120 метров. Первая ступень имеет длину 3 метра, а каждая следующая ступень увеличивается на 0,5 метра. Сколько всего ступеней нужно поднять, чтобы добраться до вершины пещеры?"
Чтобы решить эту задачу, мы должны найти общее количество ступеней, используя информацию о первой ступени и изменении длины каждой последующей ступени.
Прежде всего, давайте определим, какое расстояние нужно поднять, чтобы добраться до вершины пещеры. Для этого мы складываем длины всех ступеней. Первая ступень имеет длину 3 метра. Мы не знаем сколько ступеней, поэтому давайте обозначим это число как "n".
Длина каждой следующей ступени увеличивается на 0,5 метра. Это означает, что каждая следующая ступень будет длиннее предыдущей ступени на 0,5 метра. Мы можем записать это в виде уравнения:
длина_i = длина_(i-1) + 0,5
где "длина_i" - длина i-ой ступени, "длина_(i-1)" - длина предыдущей (i-1)-ой ступени, а 0,5 представляет собой изменение длины каждой последующей ступени.
Теперь мы можем записать сумму длин всех ступеней в виде общей формулы:
1 + 2 + 3 + ... + (n-1) - это сумма арифметической прогрессии со значениями от 1 до (n-1). Мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:
S = (n/2)(a + b),
где S - сумма прогрессии, n - количество элементов, a - первый элемент, b - последний элемент.
Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
120 = 3n + 0,5(n/2)(n)
Мы можем упростить это уравнение:
120 = 3n + 0,25n^2
Теперь давайте перенесем все слагаемые в одну сторону:
0.25n^2 + 3n - 120 = 0
Это квадратное уравнение, которое можно решить, используя любые методы решения квадратных уравнений. Мы можем попробовать использовать метод разложения на множители или формулу дискриминанта, но они могут быть сложными для школьников.
Вместо этого я предлагаю использовать метод подбора. Мы знаем, что решением является целое число (количество ступеней), поэтому давайте будем подбирать различные значения и проверять их.
Мы можем продолжить подбирать значения для n, но более эффективным способом будет использование графика или калькулятора для поиска точного значения n, когда выражение равно 0. Полученное значение n будет являться количеством ступеней.
В итоге, общее количество ступеней, чтобы добраться до вершины пещеры, будет равно найденному значению n, которое можно определить с помощью графика или калькулятора.
Чтобы решить эту задачу, мы должны найти общее количество ступеней, используя информацию о первой ступени и изменении длины каждой последующей ступени.
Прежде всего, давайте определим, какое расстояние нужно поднять, чтобы добраться до вершины пещеры. Для этого мы складываем длины всех ступеней. Первая ступень имеет длину 3 метра. Мы не знаем сколько ступеней, поэтому давайте обозначим это число как "n".
Длина каждой следующей ступени увеличивается на 0,5 метра. Это означает, что каждая следующая ступень будет длиннее предыдущей ступени на 0,5 метра. Мы можем записать это в виде уравнения:
длина_i = длина_(i-1) + 0,5
где "длина_i" - длина i-ой ступени, "длина_(i-1)" - длина предыдущей (i-1)-ой ступени, а 0,5 представляет собой изменение длины каждой последующей ступени.
Теперь мы можем записать сумму длин всех ступеней в виде общей формулы:
120 = 3 + (3 + 0,5) + (3 + 2 * 0,5) + (3 + 3 * 0,5) + ... + (3 + (n-1) * 0,5)
Давайте разберемся с правой частью уравнения. При раскрытии скобок получим:
120 = 3 + 3 + 0,5 + 3 + 2 * 0,5 + 3 + 3 * 0,5 + ... + 3 + (n-1) * 0,5
Упрощая это уравнение, получим:
120 = 3n + 0,5 + 0,5 + 2 * 0,5 + 3 * 0,5 + ... + (n-1) * 0,5
Теперь можно привести подобные слагаемые:
120 = 3n + 0,5(1 + 2 + 3 + ... + (n-1))
1 + 2 + 3 + ... + (n-1) - это сумма арифметической прогрессии со значениями от 1 до (n-1). Мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:
S = (n/2)(a + b),
где S - сумма прогрессии, n - количество элементов, a - первый элемент, b - последний элемент.
В нашем случае, a = 1, b = (n-1), поэтому:
1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = (n/2)(1 + (n-1)) = (n/2)(n)
Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
120 = 3n + 0,5(n/2)(n)
Мы можем упростить это уравнение:
120 = 3n + 0,25n^2
Теперь давайте перенесем все слагаемые в одну сторону:
0.25n^2 + 3n - 120 = 0
Это квадратное уравнение, которое можно решить, используя любые методы решения квадратных уравнений. Мы можем попробовать использовать метод разложения на множители или формулу дискриминанта, но они могут быть сложными для школьников.
Вместо этого я предлагаю использовать метод подбора. Мы знаем, что решением является целое число (количество ступеней), поэтому давайте будем подбирать различные значения и проверять их.
Попробуем начать с n = 10:
0.25 * 10^2 + 3 * 10 - 120 = 25 + 30 - 120 = 55 - 120 = -65
Результат отрицательный, значит n ≠ 10.
Попробуем теперь n = 11:
0.25 * 11^2 + 3 * 11 - 120 = 30.25 + 33 - 120 = 63.25 - 120 = -56.75
Результат снова отрицательный, значит n ≠ 11.
Мы можем продолжить подбирать значения для n, но более эффективным способом будет использование графика или калькулятора для поиска точного значения n, когда выражение равно 0. Полученное значение n будет являться количеством ступеней.
В итоге, общее количество ступеней, чтобы добраться до вершины пещеры, будет равно найденному значению n, которое можно определить с помощью графика или калькулятора.