Третий и пятый члены убывающей геометрической прогрессии равны соответственно 256 и 1/4. Найдите четвертый член этой прогрессии​

Добрый день! Давайте разберемся вместе с вашим вопросом.

У нас есть убывающая геометрическая прогрессия, где третий член равен 256 и пятый член равен 1/4. Нам нужно найти четвертый член этой прогрессии.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для членов геометрической прогрессии:

an = a1 * r^(n-1),

где an - n-й член прогрессии,
a1 - первый член прогрессии,
r - знаменатель прогрессии,
n - номер члена прогрессии, который мы хотим найти.

В данном случае, мы знаем, что третий член равен 256. По формуле, это можно записать как:

256 = a1 * r^(3-1).

Также у нас есть информация о пятом члене, который равен 1/4:

1/4 = a1 * r^(5-1).

Теперь мы должны решить эту систему уравнений, чтобы найти значения a1 и r.

Давайте решим первое уравнение:

256 = a1 * r^2.

Далее решим второе уравнение:

1/4 = a1 * r^4.

Теперь нам нужно найти значение четвертого члена. Мы знаем, что он будет равен:

a4 = a1 * r^(4-1).

Таким образом, нам нужно найти значения a1 и r, чтобы решить эту задачу.

Чтобы продолжить решение, мы должны избавиться от переменной a1. Для этого давайте разделим первое уравнение на второе:

(256)/(1/4) = (a1 * r^2)/(a1 * r^4).

Упростим выражение:

(256 * 4) = r^2/r^4.

Домножим обе стороны уравнения на r^4:

(256 * 4) * r^4 = r^2.

Упростим выражение, учитывая, что r^2 * r^4 = r^6:

1024 * r^4 = r^6.

Двигая элементы, получим:

r^6 - 1024 * r^4 = 0.

Теперь давайте решим это уравнение. Мы можем получить r^4 как общий множитель и разделить оба члена уравнения на r^4:

r^4 * (r^2 - 1024) = 0.

Итак, у нас есть два возможных значения r: r^4 = 0 и r^2 - 1024 = 0.

Сначала рассмотрим r^4 = 0. Если r^4 = 0, то r = 0. Однако, если r = 0, то второе уравнение становится 0 * (0^2 - 1024) = 0, что не имеет смысла. Таким образом, r = 0 не удовлетворяет нашим условиям.

Теперь рассмотрим r^2 - 1024 = 0. Решим это уравнение:

r^2 - 1024 = 0.

r^2 = 1024.

Извлечем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

r = ±√(1024).

r = ±32.

Таким образом, мы получили два возможных значения r: r = 32 и r = -32.

Теперь у нас есть значения r, и мы можем найти a1, используя первое уравнение:

256 = a1 * (32)^2.

Раскроем скобки и решим уравнение:

256 = a1 * 1024.

a1 = 256/1024.

a1 = 1/4.

Таким образом, мы нашли значения a1 и r: a1 = 1/4 и r = 32.

Теперь мы можем найти четвертый член прогрессии, используя формулу:

a4 = (1/4) * (32)^(4-1).

Оценим выражение в скобках:

a4 = (1/4) * 32^3.

Рассчитаем 32^3:

a4 = (1/4) * 32^3 = (1/4) * 32768 = 8192.

Таким образом, четвертый член этой убывающей геометрической прогрессии равен 8192.

Надеюсь, я смог вам помочь и ответить на ваш вопрос. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!