Очень нужно Найдите скалярное произведение векторов а(6;10-14) с(4;-2;-5).
№2. Найдите угол между векторами СА и СВ если А(1;3;0), В(2;3;-1), С( 1;2;-1)
№3. При каких значениях m векторы а(3;m-3;-7) и b(1;m;3) перпендикулярны?
№4. Даны три вершины параллелограмма ABCD : A(-2;-1;1) B(4;-2;2) C(6;1;3)
Найдите:
1) четвертую его вершину.
2) угол между диагоналями .
3) площадь параллелограмма.
№5 Найдите точку B , если если векторы ВО и СА равны , А(5;0;1) С( 0;-3;4) О(0;0;0) .
№6 При каких значениях m и n вектор с равен вектору 2а-b,если а (1;m+1;30), b(-1;4;n-1), c(3;0;5) ?​

№1. Чтобы найти скалярное произведение векторов а(6;10;-14) и с(4;-2;-5), мы используем следующую формулу:
a·c = a₁c₁ + a₂c₂ + a₃c₃, где a₁, a₂, a₃ и c₁, c₂, c₃ - координаты векторов а и с соответственно.

Подставим значения в формулу:
a·c = 6*4 + 10*(-2) + (-14)*(-5)
= 24 - 20 + 70
= 74.

Таким образом, скалярное произведение векторов а(6;10;-14) и с(4;-2;-5) равно 74.

№2. Чтобы найти угол между векторами СА и СВ, мы можем использовать формулу косинуса угла между векторами:
cosθ = (A·B) / (|A| * |B|), где A и B - векторы, A·B - их скалярное произведение, |A| и |B| - их длины.

Сначала найдем векторы СА и СВ:
СА = A - C = (1 - 1; 3 - 2; 0 - (-1)) = (0; 1; 1)
СВ = B - C = (2 - 1; 3 - 2; (-1) - (-1)) = (1; 1; 0)

Теперь найдем их длины:
|СА| = √(0² + 1² + 1²) = √2
|СВ| = √(1² + 1² + 0²) = √2

Теперь найдем скалярное произведение СА и СВ:
СА·СВ = 0*1 + 1*1 + 1*0
= 0 + 1 + 0
= 1

Теперь подставим значения в формулу косинуса:
cosθ = (1) / (√2 * √2)
= 1 / 2.

Чтобы найти сам угол, возьмем обратный косинус от значения полученного косинуса:
θ = arccos(1 / 2)
≈ 60°.

Таким образом, угол между векторами СА и СВ примерно равен 60°.

№3. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
Подставим значения векторов а(3;m-3;-7) и b(1;m;3) в формулу скалярного произведения a·b и приравняем его к нулю:

a·b = 3*1 + (m-3)*m + (-7)*3
= 3 + m² - 3m - 21
= m² - 3m - 18.

Теперь решим квадратное уравнение:
m² - 3m - 18 = 0

Для решения можно использовать факторизацию, получив:
(m + 3)(m - 6) = 0.

Таким образом, значения m, при которых векторы а(3;m-3;-7) и b(1;m;3) перпендикулярны, равны -3 и 6.

№4. По условию даны три вершины параллелограмма ABCD:
A(-2;-1;1), B(4;-2;2), C(6;1;3).

1) Четвертая вершина параллелограмма можно найти, зная, что диагонали параллелограмма делятся пополам.
Сначала найдем векторы AB и AC:
AB = B - A = (4 - (-2); -2 - (-1); 2 - 1) = (6; -1; 1)
AC = C - A = (6 - (-2); 1 - (-1); 3 - 1) = (8; 2; 2)

Теперь найдем точку D, используя среднюю точку AB и AC:
D = (A + C) / 2 = ((-2 + 6) / 2; (-1 + 1) / 2; (1 + 3) / 2) = (2; 0; 2).

Таким образом, четвертая вершина параллелограмма ABCD имеет координаты (2; 0; 2).

2) Чтобы найти угол между диагоналями параллелограмма, мы можем использовать формулу косинуса угла между векторами.
Диагонали параллелограмма - это векторы AD и BC.

Найдем вектор AD:
AD = D - A = (2 - (-2); 0 - (-1); 2 - 1) = (4; 1; 1).

Найдем вектор BC:
BC = C - B = (6 - 4; 1 - (-2); 3 - 2) = (2; 3; 1).

Теперь найдем их длины:
|AD| = √(4² + 1² + 1²) = √18
|BC| = √(2² + 3² + 1²) = √14

Теперь найдем скалярное произведение AD и BC:
AD·BC = 4*2 + 1*3 + 1*1
= 8 + 3 + 1
= 12.

Теперь найдем угол между диагоналями, используя формулу косинуса угла между векторами:
cosθ = (AD·BC) / (|AD| * |BC|)
= 12 / (√18 * √14).

Чтобы найти сам угол, возьмем обратный косинус от значения косинуса:
θ = arccos(12 / (√18 * √14)).

Угол между диагоналями параллелограмма ABCD равен arccos(12 / (√18 * √14)).

3) Площадь параллелограмма можно найти, используя длины его сторон.
Для этого можно найти длины векторов AB и AD, а затем использовать их для вычисления площади.

Найдем длины векторов AB и AD:
|AB| = √(6² + (-1)² + 1²) = √38
|AD| = √(4² + 1² + 1²) = √18

Площадь параллелограмма можно найти, используя формулу:
Площадь = |AB| * |AD| * sinθ, где θ - угол между векторами AB и AD.

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна √38 * √18 * sinθ.

№5. Найдем точку B, если векторы ВО и СА равны.
Вектор BO можно найти, прибавив вектор ОA к вектору ВС:
BO = ОA + СА = (0 - 5; 0 - 0; 0 - 1) = (-5; 0; -1).

Таким образом, координаты точки B равны (-5; 0; -1).

№6. Чтобы вектор с равнялся вектору 2а-b, мы можем приравнять соответствующие координаты:
c₁ = 2a₁ - b₁
c₂ = 2a₂ - b₂
c₃ = 2a₃ - b₃

Подставим значения a(1;m+1;30), b(-1;4;n-1) и c(3;0;5) в уравнения:
c₁ = 2(1) - (-1) = 2 + 1 = 3
c₂ = 2(m+1) - 4 = 2m + 2 - 4 = 2m - 2
c₃ = 2(30) - (n-1) = 60 - n + 1 = 61 - n

Таким образом, значения m и n, при которых вектор с равен вектору 2а-b, равны m = 2 и n = 61.