Жонглер бросает шарик и, когда тот достигает половины от его максимальной высоты, бросает точно так же следующий. сколько шариков будет в воздухе в момент приземления первого из них?

Определим, сколько времени первый шарик находится  в воздухе до своего приземления.
Шарик, брошенный вертикально вверх со скоростью Vнач, совершает равноускоренное движение в поле тяготения Земли, где на него действует постоянное ускорение g, направленное вертикально вниз.
На первом этапе ускорение g направлено против начальной скороcти шарика, при этом скорость шарика уменьшается в зависимости от времени движения:
V = Vнач – gt. (1)
За время подъема t под  шарик достигает максимальной высоты Н, которая подсчитывается по формуле:
H= Vнач * t под– g tподв квадрате/2. (2)
Учитывая, что в верхней точке подъема скорость шарика равна 0, находим время подъема шарика до максимальной высоты:
0 = Vнач – gtпод, т.е. t под =Vнач / g.
Подставляя время подъема в формулу (2), подсчитаем максимальную высоту подъема:
H макс= Vнач в квадрате / g –  Vнач вквадрате / 2g  =  Vнач в квадрате / 2g  (3)
Теперь рассмотрим второй этап движения шарика – падение с высоты H.
В этом случае ускорение шарик совершает равноускоренное движение без начальной скорости с ускорением g. Время падения шарика определяется по  формуле:  H = gtпад в квадрате /2, откуда время падения равно:
  tпад =Корень квадр из(2Н/g) .
Подставим сюда значение H  из формулы (3) и получим:
tпад =корень квадратный из (2Vнач в квадрате/2g в квадрате) = Vнач / g,          т.е. время падения равно времени подъема.
Полное время движения первого шарика до его приземления  равно: 
tполн = t под + tпад = 2Vнач / g         (4).
Теперь определим, сколько времени  t1 первый шарик поднимался на половину максимальной высоты, т.е. на высоту H/2, используя формулы  (2)  и (3):
H/2= Vнач *t1– g*t1 в квадрате/2;
Vнач в квадрате / 4g =  Vнач* t1– g*t1 в квадрате/2.
Отсюда  t1 =Vнач(√2 -1)/√2 g
Теперь осталось только определить сколько шариков успеет подбросить жонглер за то время, пока летит первый шарик:
n = tполн / t1 = 2 √2 / (√2 -1)