За 1 с амплитуда свободных колебаний уменьшается в 10 раз. За какое время (тау) амплитуда уменьшится в 100 раз?

Хорошо, давайте разберемся с этим вопросом.

У нас есть задача, в которой говорится, что за 1 с (одну секунду) амплитуда свободных колебаний уменьшается в 10 раз. Нам нужно найти время (т = тау), за которое амплитуда уменьшится в 100 раз.

Для начала нам нужно понять, как связаны амплитуды в разные моменты времени. Для этого воспользуемся формулой для свободных колебаний гармонического осциллятора:

A(t) = A0 * exp(-t/τ),

где A(t) - амплитуда в момент времени t,
A0 - начальная амплитуда (в момент времени t=0),
τ - время затухания, характеризующее убывание амплитуды.

Теперь нам нужно найти время (т = тау), при котором амплитуда уменьшится в 100 раз. Для этого мы можем записать следующее соотношение:

A(т) = A(0) / 100.

Теперь подставим наше выражение для A(t) и решим это уравнение относительно тау:

A(0) * exp(-т/τ) = A(0) / 100.

Делим обе части уравнения на A(0):

exp(-т/τ) = 1 / 100.

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

-ln(1/100) = -т/τ.

Используя логарифмическое свойство ln(1/a) = -ln(a), получаем:

ln(100) = т/τ.

Используя определение натурального логарифма ln(x) = y, можно записать:

e^(ln(100)) = e^(т/τ).

e^ln(x) = x, поэтому мы получаем:

100 = e^(т/τ).

Теперь возведем обе части уравнения в степень e:

e^(ln(100)) = e^(т/τ).

100 = e^(т/τ).

Теперь возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

ln(100) = т/τ.

Из этого уравнения мы можем найти τ:

τ = т / ln(100).

Таким образом, временем (τ), за которое амплитуда уменьшится в 100 раз, является дробь, где числитель равен времени (т), за которое амплитуда уменьшается в 10 раз, а знаменатель - натуральный логарифм от 100.