Вкаком случае горячая вода в стакане охладится больше: если в него опустить серебряную или алюминиевую ложку той же массы? ответ обосновать.

Интересный вопрос.

Что и как происходит? Довольно быстро,  в системе ложка (начальная температура - комнатная) и кипяток, установится тепловое равновесие, ложка нагреется, вода немного остынет. Далее, та часть ложки, которая не находится в воде, начнет работать как радиатор охлаждения, воздух будет забирать с него тепло, а материал этой ложки будет подводить тепло, забирая ее у воды, пока вода не остынет до комнатной температуры.

Теплопроводность алюминия 300 вт/м*К, серебра 425 вт/м*К. То есть в начальный момент, тепловое равновесие установится быстрее в системе с серебряной ложкой, но это к данному вопросу практически не имеет отношения. Во-первых, потому что за счет большей теплоемкости (900 Дж/кг*К против 240 Дж/кг*К) очень быстро алюминиевая ложка заберет почти в 4 раза больше тепла и температура в стакане с алюминиевой ложкой установится ниже, чем с серебряной. Во-вторых, на второй стадии (подвод тепла к "радиатору" столь небольшое отличие в теплопроводности не имеет решающего значения. Почему? Во-первых, обмен тепла между воздухом и ложкой, полагаю значительно медленнее, чем между водой и ложкой, поэтому более высокая теплопроводность серебра не имеет значения, алюминий тоже будет успевать подносить тепло. Во-вторых, что гораздо более важнее, плотность алюминия почти в 4 раза меньше плотности серебра (10450кг/м3 и 2700 кг/м3). Поэтому площадь поверхности алюминиевой ложки (в том числе и выходящей из воды) тоже будет значительно больше серебряной. А значит теплообмен с воздухом с большей площади будет интенсивнее.

ответ, быстрее охладится стакан воды с алюминиевой ложкой, теплопроводность в данной задаче не имеет значения, так как её влияние совершенно незначительно.