Тело совершает гармонические колебания согласно уравнению X= 3π sin (10πt+ π/12)

Определите: а) амплитуду; б) собственную частоту; в) начальную фазу
г) период; д) частоту; е) запишите уравнения ʋ=ʋ(t) и a=a(t)

Хорошо, давайте ответим на вопросы по порядку:

а) Амплитуда колебаний обозначается буквой "A" и определяется как максимальное значение перемещения тела относительно положения равновесия. В данном случае амплитуда равна 3π.

б) Собственная частота колебаний обозначается буквой "ω" и определяется как количество колебаний, происходящих в единицу времени. Для нахождения собственной частоты необходимо сравнить коэффициент при "t" в уравнении колебаний с общим видом уравнения гармонического колебания: X = A sin(ωt + φ), где "ω" - собственная частота. В данном случае коэффициент при "t" равен 10π, значит, собственная частота равна 10π.

в) Начальная фаза колебаний обозначается буквой "φ" и определяет положение тела в момент времени t=0. В данном случае начальная фаза равна π/12.

г) Период колебаний обозначается буквой "T" и определяется как время, за которое тело совершает одно полное колебание (возвращается в исходную точку). Для нахождения периода необходимо использовать общее соотношение между собственной частотой и периодом: ω = 2π/T. Подставим собственную частоту, полученную в предыдущем пункте, и найдем период: 10π = 2π/T. Разделим обе части уравнения на 2π и получим: T = 1/5.

д) Частота колебаний обозначается буквой "f" и определяется как количество полных колебаний, происходящих в единицу времени. Для нахождения частоты необходимо использовать обратное соотношение между собственной частотой и периодом: f = 1/T. Подставим период, найденный в предыдущем пункте, и найдем частоту: f = 1/(1/5) = 5.

е) Уравнение скорости тела в гармонических колебаниях имеет вид: ʋ = ʋ₀ cos(ωt + φ), где "ʋ₀" - начальная скорость. Учитывая, что производная от уравнения колебаний по времени даёт уравнение скорости, получим: ʋ = dX/dt = d/dt(3π sin(10πt+π/12)). Возьмем производную по шагам:

d/dt(3π sin(10πt+π/12)) = 3π d/dt(sin(10πt+π/12)) = 3πcos(10πt+π/12) * d/dt(10πt+π/12) = 30πcos(10πt+π/12).

Значит, уравнение скорости имеет вид: ʋ = 30πcos(10πt+π/12).

Уравнение ускорения тела в гармонических колебаниях получается взятием производной от уравнения скорости по времени:

a = dʋ/dt = d/dt(30πcos(10πt+π/12)) = -300π²sin(10πt+π/12).

Значит, уравнение ускорения имеет вид: a = -300π²sin(10πt+π/12).

Таким образом, полные ответы на вопросы:

а) Амплитуда колебаний равна 3π.
б) Собственная частота колебаний равна 10π.
в) Начальная фаза колебаний равна π/12.
г) Период колебаний равен 1/5.
д) Частота колебаний равна 5.
е) Уравнение скорости: ʋ = 30πcos(10πt+π/12).
Уравнение ускорения: a = -300π²sin(10πt+π/12).