Тело массой m = 1 кг совершает колебания по закону x(t) = 0,42∙cos(7,4∙t), где t в секундах, x - в метрах. Найти: 1) амплитуду колебаний; 2) их частоту; 3) полную энергию; 4) кинетическую и потенциальную энергии при x = 0,16 м.

Хорошо, давайте решим задачу по порядку:

1) Амплитуда колебаний (A) определяется как максимальное отклонение от положения равновесия тела. В данном случае, уравнение колебаний выглядит так: x(t) = 0,42∙cos(7,4∙t). Мы видим, что максимальное значение функции cos() равно 1, поэтому амплитуда колебаний составляет 0,42 метра.

2) Частота колебаний (f) обозначает количество полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Она определяется по формуле: f = 1 / T, где T - период колебаний. Период колебаний можно найти, зная, что период обратно пропорционален к угловой скорости:

T = 2π / ω,

где ω - угловая скорость, определенная как ω = 2πf.
Таким образом, частоту колебаний можно выразить через угловую скорость: f = ω / (2π).
Уравнение колебаний: x(t) = 0,42∙cos(7,4∙t). Мы видим, что угловая скорость равна 7,4, поэтому частота колебаний равна:

f = 7,4 / (2π) ≈ 1,175 Гц.

3) Полная энергия (E) колебательной системы складывается из кинетической энергии (K) и потенциальной энергии (P). Формула для полной энергии имеет вид E = K + P. Кинетическая энергия, в свою очередь, определяется как половина произведения массы на квадрат скорости (v^2). Потенциальная энергия в данном случае является потенциальной энергией упругости и определяется как половина произведения коэффициента упругости (k) на квадрат амплитуды (A^2).

Формулы для кинетической и потенциальной энергии:
K = (1/2)mv^2,
P = (1/2)kA^2.

У нас нет информации о скорости колеблющегося тела, поэтому мы не можем рассчитать кинетическую энергию.

4) Кинетическую и потенциальную энергию можно рассчитать при значении отклонения x = 0,16 метра. Мы знаем, что x(t) = 0,42∙cos(7,4∙t). Подставим x = 0,16 в данное уравнение:

0,16 = 0,42∙cos(7,4∙t).

Из этого уравнения можем найти значение t, которое соответствует данному отклонению. Для этого необходимо взять арккосинус от обеих частей уравнения:

cos(7,4∙t) = 0,16 / 0,42 ≈ 0,381.

7,4∙t = arccos(0,381).

Найденное значение arccos(0,381) можно разделить на 7,4, чтобы найти значение t.

t ≈ arccos(0,381) / 7,4 ≈ 0,369 с.

Таким образом, при x = 0,16 м полная энергия нетривиально рассчитать без информации о скорости. Однако, мы можем рассчитать только потенциальную энергию при данном отклонении. Подставим значение x = 0,16 в формулу для потенциальной энергии:

P = (1/2)kA^2 = (1/2)m(2πf)^2A^2,

где k = m(2πf)^2. Подставим известные значения и рассчитаем потенциальную энергию:

P = (1/2) * 1 * (2π * 1,175)^2 * 0,16^2.

Теперь можно вычислить значение.