Шарик подвешен к потолку ящика пружинной жесткостью 1н/см а с дном ящика соединён пружинной с жёсткостью 3 н/см. определите период и частоту вертикальных гармонических колебаний шарика. распишите полностью , желательно на черновике и фотку, много , , !

Ответы

LizaVasilenko3636 09.08.2020 16:58

ПЕРВЫЙ

Рассмотрим обычную гуковскую пружину длины $L \ ,$ и жёсткостью $k \ ,$ деформацию которой обозначим, как $l \ .$ Тогда возникающая сила упругости при её деформации будет выражаться обычным законом Гука:

$F = -kl \ ;$

Рассмотрим некоторое состояние [1] : F_1 = -kl_1

и некоторое состояние [2] : F_2 = -kl_2

При вычитании этих уравнений получим, что для двух любых состояний верно, что:

$F_2 - F_1 = -k ( l_2 - l_1 ) \ ;$

$\Delta F = -k \Delta l \ ;$

Т.е. изменение силы действующей со стороны любой гуковской пружины пропорционально изменению её деформации с противоположным знаком, через её собственную жёсткость.

В нашем случае, в состоянии равновесия z = 0

– все силы, действующие на груз, взаимно скомпенсированы. При изменении положения груза на $z 0 \ ,$ (т.е. вверх), растяжение нижней пружины (down) увеличится, а значит её сила, действующая на груз вниз – тоже увеличится по модулю. В проективном виде это изменение выразится, как:

$\Delta F_d = - k_d z < 0$ – это символизирует увеличение отрицательной (направленной вниз) величины силы нижней пружины.

В то же время, при изменении положения груза на $z 0 \ ,$ (вверх), растяжение верхней пружины (up) уменьшится, а значит её сила, действующая на груз вверх – тоже уменьшится по модулю. В проективном виде это изменение выразится, как:

$\Delta F_u = - k_u z < 0$ – это символизирует уменьшение положительной (направленной вверх) величины силы верхней пружины.

Общее изменение силы составит (сила тяжести не изменится):

$\Delta F = \Delta F_d + \Delta F_u = - ( k_d + k_u ) z \ ;$

При этом, поскольку в начальном состоянии действие всех сил было скомпенсировано, т.е. равнодействующая была равна нулю, то, стало быть, при смещении груза на $z \ ,$ общая сила, действующая со стороны системы пружин – будет как раз и равна изменению действующих сил:

$F = - ( k_d + k_u ) z \ ;$
(рассуждения для отрицательного смещения производятся аналогично)

А такая зависимость силы от смещения – эквивалентна системе груза и одной пружины с жёсткостью, равной сумме исходных жёсткостей. Стало быть:

$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ k_d + k_u } } \ ,$ где

– масса шарика.

$\nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k_d + k_u }{m} } \ .$

ВТОРОЙ

Пусть начальные растяжения пружин: l_d

(нижней), и l_u

(верхней). При этом положим вертикальное положение груза $z = 0 \ .$ Ось

направлена вверх.

Запишем закон сохранения энергии для произвольного положения груза:

$\frac{mv^2}{2} + mgz + \frac{k_d}{2} ( l_d + z )^2 + \frac{k_u}{2} ( l_u - z )^2 = const \ ;$

Продифференцируем уравнение по времени:

$mvv'_t + mgz'_t + k_d ( l_d + z ) z'_t - k_u ( l_u - z ) z'_t = 0 \ ; \ \ \ \ || : z'_t$

$mv'_t + mg + k_d ( z + l_d ) + k_u ( z - l_u ) = 0 \ ;$

$mz''_t = k_u l_u - k_d l_d - mg -( k_d + k_u )z \ ;$

Заметим, что в начальном положении, действие всех сил скомпенсировано:

$k_u l_u - k_d l_d - mg = 0 \ ;$
(сила только верхней пружины положительна, т.к. направлена вверх)

Итак:

$mz''_t = -( k_d + k_u )z \ ;$

А такая зависимость силы от смещения – эквивалентна системе груза и одной пружины с жёсткостью, равной сумме исходных жёсткостей. Стало быть:

$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ k_d + k_u } } \ ,$ где

– масса шарика.

$\nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k_d + k_u }{m} } \ .$

ТРЕТИЙ

Зафиксируем груз. Демонтируем нижнюю пружину. Прикрепим нижнюю пружину тоже свреху (!) груза, закрепив её на таком вертикальном расстоянии от груза, чтобы при отпускании груза – он остался бы в равновесии.

Сборка окажется эквивалентной, поскольку изначально верхняя пружина будет работать, как прежде. А перемещённая пружина при поднятии груза будет толкать груз вниз с таким же коэффициентом упругости, с которым она тянула бы его вниз, будучи снизу. С противоположным смещением – то же самое.

Обе пружины при такой эквивалентной сборке будут работать в параллельном режиме, как хорошо известно, с суммарной жёсткостью:

Итак:

$F = -( k_d + k_u )z \ ;$

$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ k_d + k_u } } \ ,$ где

– масса шарика.

$\nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k_d + k_u }{m} } \ .$

ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЁТ :::

Н/см

см

Н/м ;

Н/см

см

Н/м ;

Допустим, масса шарика равна 1 кг. Тогда:

$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{ k_d + k_u } } \approx 2 \pi \sqrt{ \frac{1}{ 300 + 100 } } \approx 0.314$ сек ;

$\nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k_d + k_u }{m} } \approx \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ 300 + 100 }{1} } \approx 3.18$ Гц .