Шар массой 1 кг бросили вертикально вверх со скоростью 10 м/с. Считайте, что сопротивлением воздуха можно пренебречь. За нулевой уровень потенциальной энергии шара примите его начальное положение.
а) Чему равна полная механическая энергия шара?
б) На какой высоте кинетическая энергия шара равна нулю?
в) На какой высоте значение кинетической энергии шара уменьшилось в 2 раза по сравнению с начальным?
г) На какой высоте кинетическая энергия шара равна его потенциальной энергии?
д) На какой высоте кинетическая энергия шара в 3 раза больше потенциальной?
е) На какой высоте потенциальная энергия шара в 4 раза больше кинетической?

Для решения этой задачи нам понадобятся два принципа: закон сохранения энергии и формулы для кинетической и потенциальной энергии. Рассмотрим каждый пункт по очереди. a) Полная механическая энергия шара представляет собой сумму его кинетической и потенциальной энергии. По определению, кинетическая энергия шара равна E_k = (1/2) * m * v^2, где m - масса шара, а v - его скорость. В данном случае масса шара равна 1 кг, а начальная скорость 10 м/с. Подставляя эти значения в формулу, получаем: E_k = (1/2) * 1 * 10^2 = 50 Дж. Потенциальная энергия шара в данной задаче равна E_p = m * g * h, где g - ускорение свободного падения, а h - высота шара над нулевым уровнем. Поскольку шар бросили вертикально вверх, высота его будет уменьшаться с течением времени до тех пор, пока он не достигнет максимальной высоты и начнет падать вниз. Значит, полная механическая энергия шара равна E_k + E_p = 50 Дж. б) На какой высоте кинетическая энергия шара равна нулю? В данной задаче мы можем использовать принцип сохранения энергии. Это означает, что полная механическая энергия шара сохраняется на всем пути его движения. Из предыдущего ответа мы знаем, что начальная полная механическая энергия шара равна 50 Дж. Заметим, что на некоторой высоте, когда кинетическая энергия станет равной нулю, полная механическая энергия также будет равна нулю, поскольку потенциальная энергия превышает нулевое значение. Таким образом, на той высоте, где кинетическая энергия равна нулю, полная механическая энергия равна нулю. в) На какой высоте значение кинетической энергии шара уменьшилось в 2 раза по сравнению с начальным? По принципу сохранения энергии мы знаем, что полная механическая энергия шара остается постоянной на всем пути его движения. Пусть на некоторой высоте h_1 кинетическая энергия шара уменьшилась в 2 раза по сравнению с начальной. Это означает, что полная механическая энергия на этой высоте должна быть равна половине начальной энергии. То есть, E_k1 + E_p1 = 0.5 * (E_k + E_p), где E_k1 и E_p1 - кинетическая и потенциальная энергия на высоте h_1 соответственно. Мы уже знаем, что полная механическая энергия на начальной высоте равна 50 Дж. Подставим эти значения в уравнение: E_k1 + E_p1 = 0.5 * 50 Дж. Заметим, что на некоторой высоте кинетическая энергия достигает своего минимума (равна нулю), поэтому потенциальная энергия на этой высоте равна полной механической энергии. Таким образом, получаем уравнение E_p1 = 0.5 * 50 Дж. Используя формулу для потенциальной энергии, найдем соответствующую высоту h_1: m * g * h_1 = 0.5 * 50 Дж. Подставим известные значения: 1 * 9.8 * h_1 = 0.5 * 50. Решая это уравнение, получаем h_1 = 2.55 м. г) На какой высоте кинетическая энергия шара равна его потенциальной энергии? В данной задаче мы имеем дело с принципом сохранения энергии. Полная механическая энергия шара остается постоянной на всем пути движения. Пусть на некоторой высоте h_2 кинетическая энергия шара равна его потенциальной энергии. Это означает, что E_k2 = E_p2, где E_k2 и E_p2 - кинетическая и потенциальная энергия на высоте h_2 соответственно. Используя формулы для кинетической и потенциальной энергии, получаем m * g * h_2 = (1/2) * m * v^2. Здесь мы можем сократить массу шара, и после этого получаем h_2 = (1/2) * v^2 / g. Подставим известные значения: h_2 = (1/2) * 10^2 / 9.8. Решив это уравнение, получаем h_2 = 5.1 м. д) На какой высоте кинетическая энергия шара в 3 раза больше потенциальной? В данном случае мы имеем принцип сохранения энергии. Полная механическая энергия шара сохраняется на всем пути движения. Пусть на некоторой высоте h_3 кинетическая энергия шара в 3 раза больше потенциальной. То есть, E_k3 = 3 * E_p3, где E_k3 и E_p3 - кинетическая и потенциальная энергия на высоте h_3 соответственно. Подставляя формулы для кинетической и потенциальной энергии, получаем m * g * h_3 = 3 * (1/2) * m * v^2. Здесь мы можем сократить массу шара и поделить обе части уравнения на g, и после этого получаем h_3 = 3 * v^2 / (2 * g). Подставим известные значения: h_3 = 3 * 10^2 / (2 * 9.8). Решив уравнение, получаем h_3 = 15.3 м. е) На какой высоте потенциальная энергия шара в 4 раза больше кинетической? Аналогично предыдущему пункту, мы имеем принцип сохранения энергии. Пусть на некоторой высоте h_4 потенциальная энергия шара в 4 раза больше кинетической. Это означает, что E_p4 = 4 * E_k4, где E_p4 и E_k4 - потенциальная и кинетическая энергия на высоте h_4 соответственно. Подставляя формулы для кинетической и потенциальной энергии, получаем m * g * h_4 = 4 * (1/2) * m * v^2. Здесь мы можем сократить массу шара и поделить обе части уравнения на g, и после этого получаем h_4 = 4 * v^2 / (2 * g). Подставим известные значения: h_4 = 4 * 10^2 / (2 * 9.8). Решив уравнение, получаем h_4 = 20.4 м. Итак, ответы: а) Полная механическая энергия шара равна 50 Дж. б) Кинетическая энергия шара равна нулю на некоторой высоте. в) Кинетическая энергия шара уменьшилась в 2 раза на высоте 2.55 м. г) Кинетическая энергия шара равна его потенциальной энергии на высоте 5.1 м. д) Кинетическая энергия шара в 3 раза больше потенциальной на высоте 15.3 м. е) Потенциальная энергия шара в 4 раза больше кинетической на высоте 20.4 м.