Сани, движущиеся по очень гладкому горизонтальному льду со скоростью v=6 м/с, выезжают на асфальт. Длина полозьев саней L=2 м, коэффициент трения саней об асфальт u=1. Какой путь пройдут сани до полной остановки?

Объяснение:

Казалась бы, а зачем в условиях задана величина L? Ведь по закону сохранения энергии:

0-m*v^2/2=-k*m*g*l, (1)

Где m – масса санок, l – тормозной путь санок. В данном уравнении слева – изменение механической энергии санок, а справа – работа силы трения (в процессе торможения). Знак «-« справа ставится потому, что сила трения направлена противоположно скорости (а значит, и перемещению санок)

Поэтому из (1) найдется l, без всякого L.

Однако внимательный анализ движения показывает, что сила трения «включается» не вся сразу, поскольку существует еще фаза заезда санок на асфальт. В этой фазе сила трения, действующая на санки:

Fтр= x/L*k*m*g,

Где x – координата носа санок относительно начала асфальта.

Поэтому 2-ой закон Ньютона для санок в 1-ой фазе запишется так:

m*dv/dt=-Fтр=-x/L*k*m*g (2)

(знак «-« в правой части стоит потому, что сила трения направлена противоположно скорости санок.)

Продифференцируем (2) по времени, в итоге получим:

m*d2v/dt2=-1/L*k*m*g*dx/dt

Отсюда, учитывая, что dx/dt=v и сократив на m, имеем:

d2v/dt2=-k*g/L*v (3)

Не правда ли, это уравнение напоминает что-то знакомое?

Верно, это – уравнение гармонических колебаний. Только на месте координаты x в нем стоит v. Но с точки зрения математики это ничего не меняет, и общее решение этого уравнения таково:

v(t)=A*cos(w*t)+B*sin(w*t),

Где w=sqrt(k*g/L) (но в данном случае это не циклическая частота колебаний, а просто величина размерности 1/с. Чем она больше, тем больше скорость убывания скорости санок в 1-ой фазе), а коэффициенты A и B найдутся из начальных условий (движения санок, в 1-ой фазе):

v(0)=v, dv(0)/dt=0 (начальное ускорение. Оно равно 0, так как Fтр на льду =0)

отсюда: A=v, B=0. В итоге в 1-ой фазе скорость санок изменяется по закону:

v(t)=v*cos(w*t) (4)

Чтобы во 2-о фазе применить закон сохранения энергии, нужно найти скорость в конце 1-ой фазы (v1). Для этого необходимо момент времени окончания 1-ой фазы (t1). Он найдется из условия, что путь, пройденный носом санок за 1-ую фазу (l1), равен длине санок (так как с этого момента сила трения «включается» полностью, и начинается 2-ая фаза движения):

int(v(t),t=0..t1)=L

Подставляя сюда (4), имеем:

v/w*sin(w*t1)=L,

откуда и найдется t1. Подставив найденное значение в (4), отыщем v1.

Теперь, решив уравнение, аналогичное (1) (с той лишь разницей, что вместо v в нём стоит v1, а вместо l – l2), найдем и l2 – путь санок во 2-ой фазе движения.

Суммарный путь: l=L+l2. Что и требовалось найти.