С какой начальной скоростью надо бросить вниз мяч с высоты 3 м, чтобы он подпрыгнул на высоту 5 м? Считать удар о землю абсолютно упругим.

Для того чтобы решить данный вопрос, нам потребуется применить законы сохранения энергии и применить принцип упругого удара.

По закону сохранения механической энергии, сумма потенциальной энергии и кинетической энергии системы остается постоянной.

На начальной высоте у мяча есть только потенциальная энергия, которая равна массе мяча умноженной на ускорение свободного падения (g) и на высоту подъема (3 м):
E1 = m * g * h1,

где:
E1 - потенциальная энергия на высоте h1,
m - масса мяча,
g - ускорение свободного падения (9.8 м/с^2),
h1 - начальная высота (3 м).

При отскоке от земли, мяч двигается восходящей траекторией и достигает максимальной высоты подъема (h2 = 5 м).

На этой максимальной высоте мяча у него только потенциальная энергия:
E2 = m * g * h2.

После отскока от земли мяч движется вниз, на него действует ускорение свободного падения и изменяется его потенциальная энергия на кинетическую.

На данной стадии мяч не имеет потенциальной энергии, только кинетическую:
E3 = (1/2) * m * V^2,

где:
E3 - кинетическая энергия на высоте 0,
V - скорость мяча на высоте 0.

Переходя к решению, при абсолютно упругом ударе сохраняется кинетическая энергия системы.
То есть, сумма кинетических энергий до удара (E3) и после удара (E2) остается постоянной.

E3 = E2,

(1/2) * m * V^2 = m * g * h2.

Исключим массу мяча из уравнения, так как она присутствует с обеих сторон:

(1/2) * V^2 = g * h2.

Подставим значения ускорения свободного падения (g = 9.8 м/с^2) и значения максимальной высоты подъема (h2 = 5 м):

(1/2) * V^2 = 9.8 * 5,

(1/2) * V^2 = 49,

V^2 = 98,

V = sqrt(98).

Таким образом, начальная скорость, с которой нужно бросить мяч вниз, чтобы он подпрыгнул на высоту 5 м, равна sqrt(98) м/с.