Расскажите как получилась конечная формула.

Из формулы mv₁-Mv₂=(m+M)v

находим v как неизвестный множитель, произведение , т.е. левую часть mv₁-Mv₂ делите на известный множитель (m+M), получите

v=(mv₁-Mv₂ )/(m+M), теперь вам надо найти отношение mv₁/mv, сокращаете на m дробь,  v₁  делите на

v=(mv₁-Mv₂ )/(m+M), т.е. v умножаете на дробь, обратную второй  дроби, получите mv₁/mv=v₁/v=

v₁:((mv₁-Mv₂ )/(m+M))=v₁*(m+M)/(mv₁-Mv₂)=(v₁*(m+M))/(mv₁-Mv₂)