Пружинный маятник совершает затухающие колебания, в процессе которых амплитуда изменяется от значения 12 см до значения 6 см, при этом груз проходит путь 10 м. Жесткость пружины 300 Н/м, коэффициент трения 0,1. Найдите массу груза.​

Добрый день!

Для решения данной задачи, нам понадобятся несколько известных формул из механики.

1. Формула колебательного движения с учетом затухания:
x = x0 * e^(-γt) * cos(ωt + φ),
где x - амплитуда текущего положения груза,
x0 - амплитуда начального положения груза (в нашем случае 12 см),
t - время,
γ - коэффициент затухания, выражаемый как γ = (b / 2m),
b - коэффициент трения,
m - масса груза,
ω - круговая частота, выражаемая как ω = sqrt(k / m),
k - жесткость пружины,
φ - начальная фаза.

2. Связь между амплитудой, периодом и круговой частотой колебаний:
A = x0 / e^(γT) = x0 / 2,
где A - амплитуда текущего положения груза,
e - основание натурального логарифма,
T - период колебаний.

3. Связь между периодом и круговой частотой:
T = 2π / ω.

4. Связь между путем и амплитудой:
S = 4A * sin^2(φ / 2),
где S - путь, который проходит груз,
sin - функция синуса,
φ - начальная фаза.

Теперь перейдем к решению задачи.

1. Найдем круговую частоту ω.
ω = sqrt(k / m) = sqrt(300 / m) = sqrt(300) / sqrt(m),
так как жесткость пружины k равна 300 Н/м.

2. Найдем период колебаний T, используя формулу связи между периодом и круговой частотой.
У нас не даны данные о периоде, поэтому мы не можем выразить его через другие величины и придется использовать только это уравнение.

3. Найдем коэффициент затухания γ.
b = 0,1 - коэффициент трения.
γ = (b / 2m) = 0,1 / (2 * m) = 0,05 / m.

4. Используем формулу для амплитуды текущего положения груза A = x0 / e^(γT) = x0 / 2.
Подставим значения амплитуды в начальном и текущем положении:
A = 6 / 2 = 3 см.

5. Используем связь между путем и амплитудой.
S = 4A * sin^2(φ / 2),
где S = 10 м - путь, который проходит груз.

Раскроем формулу и подставим известные значения:
10 = 4 * 3 * sin^2(φ / 2).

Далее мы можем решить это уравнение относительно sin^2(φ / 2), но вместо этого воспользуемся трюком: заменим значения sin^2(φ / 2) на k.
Обозначим k = sin^2(φ / 2), тогда уравнение примет вид:
10 = 4 * 3k.

Решим полученное уравнение:
k = 10 / (4 * 3) = 10 / 12 = 5 / 6.

Таким образом, sin^2(φ / 2) = 5 / 6.

6. Теперь мы можем заключить, что sin(φ / 2) = sqrt(5 / 6).

7. Поскольку 0 <= sin(a) <= 1 для любого угла a, мы можем сделать вывод, что 0 <= sin(φ / 2) <= 1, и соответственно -1 <= sqrt(5 / 6) <= 1.

8. Чтобы найти массу груза m, мы можем вернуться к формуле для круговой частоты ω = sqrt(300) / sqrt(m) и подставить его в неё.
Поделим обе части уравнения на sqrt(300):
sqrt(300) / sqrt(m) = sqrt(300) / sqrt(m).

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:
300 / m = 300 / m.

Получили, что m = 300.

Таким образом, масса груза равна 300 грамм.