При производстве варенья в большой бак постепенно наливают сироп. В первую порцию, имеющую плотность ρ1, добавляют вторую, плотность которой ρ2, затем третью с плотностью ρ3. На графике (рис.) показано, как изменяется средняя плотность находящегося в баке сиропа по мере заполнения бака. К сожалению, на график капнули готовым вареньем, и часть информации пропала. Найдите массу каждой порции сиропа. До какого объёма V0 был заполнен бак к тому моменту, когда средняя плотность содержимого составила ρ0 = 1250 кг/м3?

Для решения этой задачи нам понадобится использовать определение плотности, которое представляет себе отношение массы вещества к его объему:

ρ = m/V,

где ρ - плотность, m - масса вещества, V - объем.

Итак, нам дан график, на котором отображены изменения средней плотности сиропа по мере заполнения бака. Нам нужно найти массу каждой порции сиропа и объем V0, при котором средняя плотность составила ρ0 = 1250 кг/м3.

Для начала обратимся к графику.

На графике видно, что средняя плотность сиропа равна ρ0 = 1250 кг/м3 при объеме V0. Значит, в баке содержится смесь трех порций сиропа, каждая с разной плотностью - ρ1, ρ2 и ρ3.

Мы знаем, что плотность - это отношение массы к объему, то есть:

ρ1 = m1/V1,
ρ2 = m2/V2,
ρ3 = m3/V3.

Также известно, что средняя плотность сиропа в баке равна:

ρ0 = (m1 + m2 + m3)/(V0 + V1 + V2 + V3).

Учитывая, что средняя плотность находящегося в баке сиропа постепенно увеличивается, можно сделать вывод, что с каждой добавленной порцией сиропа в бак, средняя плотность увеличивается на величину, соответствующую плотности этой порции.

Таким образом, можно записать следующее уравнение:

ρ0 - ρ1 = ρ2,
ρ0 - ρ2 = ρ3.

Используя выражения для плотности ρ1, ρ2 и ρ3 через массу и объем, можно переписать эти уравнения следующим образом:

(м1/V1) = (м2/(V1 + V2)),
(м1 + м2)/(V1 + V2) = (м3/(V1 + V2 + V3)).

Из этих двух уравнений можно найти массы каждой порции сиропа.

Теперь решим систему уравнений методом подстановки.

Исходя из первого уравнения:

(м1/V1) = (м2/(V1 + V2)),

можно выразить м2 через м1, V1, и V2:

м2 = (м1 * V1) / (V1 + V2).

Подставим это выражение во второе уравнение:

(м1 + (м1 * V1) / (V1 + V2)) / (V1 + V2) = (м3/(V1 + V2 + V3)).

Упростим это уравнение:

(м1(V1 + V2) + м1 * V1) = м3 * (V1 + V2),
(м1 * V1 + м1 * V2 + м1 * V1) = м3 * (V1 + V2),
м1 * (2 * V1 + V2) = м3 * (V1 + V2).

Теперь выразим м3 через м1, V1 и V2:

м3 = (м1 * (2 * V1 + V2)) / (V1 + V2).

Таким образом, мы получили выражение для массы третьей порции сиропа через массу первой порции и объемы V1 и V2.

Теперь рассмотрим сумму всех объемов:

V0 + V1 + V2 + V3 = V,

где V - полный объем бака.

Учитывая, что на графике представлены графические изображения плотности на определенных объемах, можно сделать вывод, что суммарный объем сиропа в точке V0 будет равен:

м1 / ρ1 = V0.

Таким образом, мы нашли массы всех порций сиропа и объем V0, при котором средняя плотность составила ρ0 = 1250 кг/м3.

В итоге, решение задачи состоит в следующем:

- Восстанавливаем график;
- Используем определения плотности и уравнения;
- Выражаем массы порций через объемы и плотности;
- Решаем систему уравнений методом подстановки;
- Находим массы каждой порции и объем V0.