При движении тела проекции его скорости изменяются по закону Vx=5t м/с, Vy=4t2 м/с. Найти выражения для радиус–вектора и вектора ускорения тела. Определить значения тангенциального и нормального ускорения тела через 10 с после начала движения. Считать, что в начальный момент времени тело находилось в точке с координатами (3,4).

Добрый день! Давайте разберемся с вашим вопросом.

У нас есть движение тела, и мы хотим найти радиус-вектор и вектор ускорения тела. Для этого нам необходимо знать проекции скорости по осям x и y в функциональной зависимости от времени Vx=5t м/с и Vy=4t2 м/с.

1. Найдем радиус-вектор тела, который обозначается как r(t).

Радиус-вектор r(t) - это вектор, который указывает на положение тела относительно начальной точки, которую мы возьмем за начало координат. Для нахождения радиус-вектора нам нужно знать функцию зависимости координат тела от времени x(t) и y(t).

Мы знаем, что проекция скорости тела по оси x равна Vx=5t м/с, и проекция скорости тела по оси y равна Vy=4t2 м/с.

Мы можем интегрировать проекции скорости тела, чтобы найти проекции координат тела относительно начальной точки:

∫Vx dt = ∫5t dt = 5∫t dt = 5(t^2/2) = (5/2)t^2 + C1,

∫Vy dt = ∫4t^2 dt = (4/3)t^3 + C2.

Здесь С1 и C2 - произвольные константы интегрирования, которые зависят от начальных условий.

Таким образом, у нас есть следующие выражения для координат тела x(t) и y(t):

x(t) = (5/2)t^2 + C1,

y(t) = (4/3)t^3 + C2.

Теперь нужно найти значения констант C1 и C2. Для этого мы используем начальные условия, которые говорят нам, что в начальный момент времени тело находилось в точке с координатами (3,4). Подставим эти значения в выражения для x(t) и y(t):

x(0) = (5/2)(0)^2 + C1 = C1 = 3,

y(0) = (4/3)(0)^3 + C2 = C2 = 4.

Таким образом, мы нашли значения констант C1 и C2: C1 = 3 и C2 = 4.

Теперь мы можем решить выражения для x(t) и y(t) с известными значениями констант:

x(t) = (5/2)t^2 + 3,

y(t) = (4/3)t^3 + 4.

Таким образом, радиус-вектор тела r(t) имеет следующие компоненты:

r(t) = (x(t), y(t)) = ((5/2)t^2 + 3, (4/3)t^3 + 4).

2. Теперь найдем вектор ускорения тела a(t).

Вектор ускорения тела a(t) - это производная вектора скорости тела по времени. У нас есть проекции скорости Vx=5t м/с и Vy=4t^2 м/с, поэтому нам нужно взять их производные.

a(t) = (dVx/dt, dVy/dt).

Для нахождения производных dVx/dt и dVy/dt просто дифференцируем проекции скорости Vx и Vy по переменной времени t:

dVx/dt = d(5t)/dt = 5 м/с,

dVy/dt = d(4t^2)/dt = 8t м/с.

Таким образом, вектор ускорения тела a(t) имеет следующие компоненты:

a(t) = (5, 8t) м/с^2.

3. Определим значения тангенциального и нормального ускорения тела через 10 с после начала движения.

Тангенциальное ускорение (атанг) - это проекция вектора ускорения a(t) на касательную к траектории движения тела в точке.

Нормальное ускорение (анорм) - это проекция вектора ускорения a(t) на нормаль к траектории движения тела в точке.

Так как у нас есть радиус-вектор тела r(t), то мы можем выразить радиус-вектор r(t) через параметр времени t:

r(t) = (x(t), y(t)) = ((5/2)t^2 + 3, (4/3)t^3 + 4).

Тогда траектория тела в точке будет определяться кривизной траектории и ее параметрическими производными:

тангенциальный вектор T(t) = (dx/dt, dy/dt),

нормальный вектор N(t) = (d^2x/dt^2, d^2y/dt^2).

Найдем значения тангенциального и нормального векторов для t = 10 с.

dx/dt = d((5/2)t^2 + 3)/dt = 5t м/с,

dy/dt = d((4/3)t^3 + 4)/dt = 4t^2 м/с.

d^2x/dt^2 = d(5t)/dt = 5 м/с^2,

d^2y/dt^2 = d(4t^2)/dt = 8t м/с^2.

Таким образом, тангенциальный вектор Т(t=10) будет:

T(t=10) = (dx/dt, dy/dt) = (5*10 м/с, 4*10^2 м/с) = (50 м/с, 400 м/с).

Нормальный вектор N(t=10) будет:

N(t=10) = (d^2x/dt^2, d^2y/dt^2) = (5 м/с^2, 8*10 м/с^2) = (5 м/с^2, 80 м/с^2).

Таким образом, значения тангенциального и нормального ускорения тела через 10 с после начала движения будут:

атанг = |T(t=10)| = √(50^2 + 400^2) ≈ 402.5 м/с^2,

анорм = |N(t=10)| = √(5^2 + 80^2) ≈ 80.04 м/с^2.

Надеюсь, я подробно и понятно ответил на ваш вопрос. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!