Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния до его центра по закону φ = аt2 + b, где a и b – константы. найти объёмную плотность заряда внутри шара. для решения применить теорему гаусса. диэлектрическую проницаемость материала шара принять равно 1.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Гаусса, которая гласит: "Поток вектора индукции магнитного поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, умноженной на электрическую постоянную ε₀".

Исходя из данного условия задачи, мы имеем поле φ, которое зависит от расстояния до центра шара и имеет вид φ = аt² + b, где a и b - константы.

Для применения теоремы Гаусса нам необходимо выбрать замкнутую поверхность, через которую мы будем рассчитывать поток вектора индукции магнитного поля.

В данном случае оптимальным выбором будет сферическая поверхность, центр которой совпадает с центром шара, а ее радиус равен расстоянию до центра шара.

На этой поверхности будем считать поток вектора индукции магнитного поля. Так как поток через сферическую поверхность будет одинаков в любой ее точке, то мы можем упростить задачу и рассмотреть переменную φ на поверхности.

Тогда, используя теорему Гаусса, получим:
∮E*dA = Q/ε₀,

где ∮E*dA - поток вектора индукции магнитного поля через замкнутую поверхность (в нашем случае сферическую поверхность), Q - заряд внутри этой поверхности, ε₀ - электрическая постоянная.

Поскольку мы рассматриваем поверхность, содержащую заряд, то вектор индукции магнитного поля будет направлен радиально от заряженного шара. Это значит, что значение φ будет меняться только в зависимости от расстояния до центра шара.

Известно, что электрический потенциал связан с вектором индукции магнитного поля следующим образом: E = -∇φ, где ∇ - оператор набла.

Таким образом, мы можем выразить модуль вектора индукции магнитного поля на поверхности исследованного шара: E = -dφ/dr.

Подставим это выражение в теорему Гаусса:
∮(-dφ/dr)*dA = Q/ε₀.

Так как мы рассматриваем сферическую поверхность, то дифференциал площади dA можно представить в виде: dA = r²*sinθ*dθ*dϕ, где r - радиус поверхности, θ - угол с направлением радиусного вектора, ϕ - угол между проекцией радиусного вектора на плоскость параллельную направлению рассматриваемого поля и направлению переменной φ.

Таким образом, мы можем записать: ∮(-dφ/dr)*r²*sinθ*dθ*dϕ = Q/ε₀.

Теперь проведем интегрирование по поверхности: ∮(-dφ/dr)*r²*sinθ*dθ*dϕ = -r²*∫(dφ/dr)*sinθ*dθ*dϕ.

Интегрирование множителей dθ и dϕ производится по соответствующим пределам, а интегрирование по переменной φ производится по пределам φ₁ и φ₂, где φ₁ и φ₂ - значения потенциала φ на поверхности шара.

Получается, что левая часть уравнения становится: -r²*∫[φ( r, θ, ϕ)]|φ₁ to φ₂*sinθ*dθ*dϕ, где [φ( r, θ, ϕ)]|φ₁ to φ₂ - означает, что мы находим разность φ в точках φ₁ и φ₂.

Правая часть уравнения остается без изменений: Q/ε₀.

Таким образом, получаем следующее соотношение:
-r²*∫[φ( r, θ, ϕ)]|φ₁ to φ₂*sinθ*dθ*dϕ = Q/ε₀.

Далее, выполняем определенные интегрирования и приводим уравнение к виду:
-4πr²(φ₀ - φ₁) = Q/ε₀,
где φ₀ - потенциал внутри шара (φ₀ = аt² + b), φ₁ - потенциал на поверхности шара.

Теперь, используя формулу для объемной плотности заряда ρ = Q/V, где V - объем шара, мы можем выразить объемную плотность заряда внутри шара через потенциал на поверхности шара и атрибуты шара.

Объем шара V равен (4/3)*π*r³, где r - радиус шара.

Таким образом, объемная плотность заряда ρ будет равна:
ρ = Q/V = Q/[4/3*(π*r³)] = 3Q/[4πr³].

Теперь мы можем выразить Q через атрибуты шара и разность потенциалов на поверхности и внутри шара:
Q = -4πr²(φ₀ - φ₁)/ε₀.

Подставляя это выражение для Q в формулу объемной плотности заряда, получаем окончательный ответ:
ρ = 3(-4πr²(φ₀ - φ₁)/ε₀)/[4πr³] = -3(φ₀ - φ₁)/(ε₀r).

Таким образом, объемная плотность заряда внутри шара равна -3(φ₀ - φ₁)/(ε₀r), где φ₀ - потенциал внутри шара (φ₀ = аt² + b), φ₁ - потенциал на поверхности шара, r - радиус шара, ε₀ - электрическая постоянная.