Период колебаний материальной точки равен 32 с. Считая движение материальной точки во время колебания равнопеременным (равноускоренным или равнозамедленным), определи время, за которое точка пройдёт путь, равный 1/4 амплитуды, если в начальный момент времени точка проходила положение равновесия. (ответ округли до сотых.)

Для решения данной задачи нам понадобятся уравнения равномерно-ускоренного движения и формула для периода колебаний.

Уравнение равномерно-ускоренного движения имеет вид:
$$s = v_0t + \frac{1}{2}at^2,$$
где $s$ - пройденный путь, $v_0$ - начальная скорость, $t$ - время, $a$ - ускорение.

Период колебаний связан с начальной скоростью и амплитудой колебания следующим образом:
$$T = \frac{2\pi}{\omega},$$
где $T$ - период колебаний, $\omega$ - угловая скорость колебаний.

Для начального момента времени точка находится в положении равновесия, то есть ее начальная скорость равна нулю: $v_0 = 0$.

Из уравнения равномерно-ускоренного движения можно выразить ускорение:
$$s = \frac{1}{2}at^2,$$
$$s/a = \frac{1}{2}t^2,$$
$$a = \frac{2s}{t^2}.$$

Далее, подставим полученное выражение для ускорения в формулу для периода колебаний:
$$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{2s}{t^2}}}.$$

Из данного уравнения выразим время t:
$$\frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{2s}{t^2}},$$
$$t^2 = \frac{2sT^2}{(2\pi)^2},$$
$$t = \sqrt{\frac{sT^2}{\pi^2}}.$$

Теперь подставляем данные в формулу:
$$t = \sqrt{\frac{(1/4 \cdot A)(32^2)}{\pi^2}} = \sqrt{\frac{256}{\pi^2}} \approx \sqrt{82.05} \approx 9.05.$$

Таким образом, время, за которое точка пройдет путь, равный 1/4 амплитуды при начальном положении в положении равновесия, приближенно равно 9.05 секунд.