Оптика.
на горизонтальном дне водоёма лежит монета радиуса r = 2 см. на каком максимальном расстоянии от монеты надо поместить в воде плоский экран радиуса r = 5 см, чтобы монету нельзя было обнаружить из воздуха при спокойной поверхности воды? показатель преломления воды n = 4/3.

Для решения данной задачи, мы можем использовать закон преломления света и принцип Ферма.

Закон преломления света гласит, что угол падения светового луча равен углу преломления, а отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению показателей преломления сред, в которых находятся лучи.

Принцип Ферма утверждает, что свет всегда следует тому пути, который требует наименьшего времени прохождения.

Для начала, предположим, что экран находится на максимальном расстоянии от монеты и лежит на горизонтальном дне водоема. Пусть точка, в которой мы хотим определить, можно ли увидеть монету или нет, находится на поверхности воды. Обозначим эту точку как A.

Согласно принципу Ферма, световой луч от монеты к точке A должен затрачивать наименьшее время. Поскольку точка A находится на границе раздела двух сред - воздуха и воды, луч света, идущий от монеты через призму воды, должен проходить путь, затрачивающий минимальное время.

Представим себе, что луч света приходит к поверхности воды под углом θ1 (угол падения), преломляется и выходит из воды под углом θ2 (угол преломления), после чего идет до точки A.

Чтобы определить значение угла θ2, воспользуемся законом преломления света:

n1 * sin(θ1) = n2 * sin(θ2),

где n1 - показатель преломления первой среды (воздуха), равный 1,
n2 - показатель преломления второй среды (воды), равный 4/3.

Так как sin(θ1) = r / d (r - радиус монеты, d - расстояние от монеты до точки A), а sin(θ2) = (r + h) / d (h - высота поднятия луча), получаем:

1 * (r / d) = (4/3) * ((r + h) / d).

Упростим это уравнение, убрав d из знаменателей:

r = (4/3) * (r + h).

Раскроем скобки:

r = (4/3) * r + (4/3) * h.

Перенесем все на одну сторону:

(4/3) * r - r = (4/3) * h.

(1/3) * r = (4/3) * h.

Преобразуем это уравнение, чтобы выразить h:

h = (1/4) * r.

Таким образом, высота поднятия луча равна четверти радиуса монеты.

Теперь, чтобы найти максимальное расстояние от монеты до точки A, на котором нужно поместить экран, можем использовать теорему Пифагора. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.

Пусть расстояние от монеты до точки A (гипотенуза) равно d, радиус монеты равен r, а высота поднятия луча равна (1/4) * r.

Тогда сумма квадратов катетов равна:

(r + h)^2 + d^2 = r^2.

Подставим значение h:

(r + (1/4) * r)^2 + d^2 = r^2.

((5/4) * r)^2 + d^2 = r^2.

Упростим это уравнение:

(25/16) * r^2 + d^2 = r^2.

Перенесем все члены на одну сторону:

(25/16 - 1) * r^2 = -d^2.

(9/16) * r^2 = -d^2.

r^2 = (-16/9) * d^2.

d^2 = (-9/16) * r^2.

d = (3/4) * r.

Таким образом, максимальное расстояние от монеты до точки A, на котором нужно поместить экран, равно трем четвертым радиуса монеты.

В конкретном случае, если радиус монеты равен 2 см, максимальное расстояние от монеты до экрана будет:

d = (3/4) * 2 = 1.5 см.

Таким образом, чтобы монету нельзя было обнаружить из воздуха при спокойной поверхности воды, экран нужно поместить на расстоянии 1.5 см от монеты.