определить координаты центра тяжести однородной плоской фигуры форма и размеры которой указаны на чертеже, R=24, а r=12.

Я ещё не изучал техническую механику и сопромат, поэтому я не уверен, что оформление решения верное (рисунок, вероятно, точно не будет соответствовать требованиям, т.к. сделан в произвольном масштабе с приближёнными положениями центра тяжести фигуры и центров тяжести простых фигур). Но мне было интересно - я нашёл, как мне кажется, необходимую теорию. И вроде как всё просто, только много писанины (ну и если чертёж делать нормальный, то решать задачу ещё дольше).

Решение задачи сводится к разбиению данной фигуры на простейшие фигуры и поиску координат центров тяжести этих простейших фигур (треугольник, прямоугольник, окружность и полуокружность). Координаты центра тяжести и площадь окружности в конечном счёте вычитаются, т.к. эта окружность - вырез в фигуре (нет вещества, т.е. массы).

Для справки приведу здесь положение центра тяжести для каждой из фигур (при условии, что каждая фигура находится в начале системы координат XOY) + формулы площадей:

Треугольник: координаты центра тяжести - среднее арифметическое координат вершин:

Xc = 1/3*(x1 + x2 + x3)

Yc = 1/3*(y1 + y2 + y3)

А также из геометрии: центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан.

S = (1/2)*a*h

Прямоугольник: координаты центра тяжести - половина стороны:

Xc = a/2

Yc = b/2

А также из геометрии: центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении его диагоналей.

S = a*b

Окружность: координаты центра тяжести - радиус окружности или половина её диаметра:

Xc = r = d/2

Yc = r = d/2

S = πr² = πd²/4

А также из геометрии: центр тяжести окружности лежит в её центре.

Полуокружность: координаты центра тяжести - в зависимости от положения в системе координат (я имею в виду только два простых положения - параллельное той или иной оси и перпендикулярное ей):

если ровной стороной вдоль оси Х (параллельно ей), то

Xc = r = d/2

Yc = (4r)/(3π)

если ровной стороной вдоль оси Y, то наоборот:

Хс = (4r)/(3π)

Yc = r = d/2

S = πr²/2 = πd²/8