Объясните откуда получился этот закон: : : : закон изменения скорости будет иметь вид: v(t)=x'(t)=2ct+b в было x(t)=a+bt+ct^2 найти модуль скорости тела в момент времени

Рассмотрим среднюю скорость    

(x-x0)/(t-t0)=Δx/Δt приближая Δt к 0 мы приходим к точному значению этого отношения то есть скорости в точке t0.

v=limΔt→0 Δx/Δt   это совпадает с определением производной и поучается v(t)=x'(t) и если,x(t)=a+bt+ct² 
 то v(t)=x'(t)=b+2ct
 кстати, ускорение есть по тем же рассуждениям v'(t)   = 2c   ускорение постоянно и значит это равноускоренное движение.

к тем же формулам можно придти взяв ускорение c и интегрируя получить скорость и снова интегрируя, х(t)
v=∫cdt=ct+C  задав v0; t0  v0=c*t0+C   C=v0-c*t0 и так далее.

Δх/Δt

Если взять первую производную х'(t) =v(t)- это и есть скорость, а то что получили,просто правило как взять производную суммы