Небольшой шарик массы m
=
200
m=200 г и присоединённая к нему лёгкая пружина надеты на гладкий горизонтальный стержень. Стержень и пружина прикреплены к вертикальной оси. Данную систему начинают плавно раскручивать вокруг вертикальной оси. При достижении частоты вращения
n
=
50
n=50 об/мин длина пружины увеличивается на
η
=
10
η=10% по сравнению с её длиной в недеформированном состоянии. Найди коэффициент жёсткости пружины
k
k.

Добрый день! Давайте решим эту задачу поэтапно:

Шаг 1: Переводим массу шарика из граммов в килограммы.
Масса шарика m = 200 г = 0,2 кг.

Шаг 2: Находим увеличение длины пружины.
Длина пружины увеличивается на η = 10% по сравнению с её длиной в недеформированном состоянии. Обозначим длину недеформированной пружины как L0, а увеличение длины - ∆L. Тогда имеем:
∆L = η * L0 = (10/100) * L0 = 0,1 * L0.

Шаг 3: Находим частоту вращения в радианах в минуту.
Обозначим частоту вращения в радианах в минуту как ω. Тогда имеем:
n = 50 об/мин = 50 * 2π рад/мин = 100π рад/мин.
Переведем рад/мин в рад/с:
100π рад/мин * (1 мин / 60 сек) = (100π / 60) рад/с = (5π / 3) рад/с.
Таким образом, ω = 5π / 3 рад/с.

Шаг 4: Находим коэффициент жесткости пружины.
Обозначим коэффициент жесткости пружины как k. При вращении шарика пружина будет испытывать центробежную силу Fc, равную силе упругости пружины Fs:
Fc = Fs.
Центробежная сила определяется следующей формулой:
Fc = m * ω^2 * R,
где m - масса шарика, ω - угловая скорость, R - радиус вращения.
Формула для силы упругости пружины:
Fs = k * ∆L.
Подставляем Fc и Fs в равенство:
k * ∆L = m * ω^2 * R.

Шаг 5: Находим коэффициент жесткости пружины k.
k = (m * ω^2 * R) / ∆L.
Теперь заметим, что радиус R - это расстояние от оси вращения пружины до начального положения шарика. В нашем случае, шарик находится на расстоянии L0 от оси, поэтому R = L0.
Подставим все значения в формулу:
k = (0,2 * (5π/3)^2 * L0) / (0,1 * L0).

Шаг 6: Упрощаем и находим числовое значение коэффициента жесткости пружины k.
k = (0,2 * (25π^2 / 9) * L0) / (0,1 * L0) = (5π^2 / 9) / 0,1 = 50π^2 / 9.

Ответ: Коэффициент жесткости пружины k равен 50π^2 / 9 (приближенно 17,44).

Надеюсь, я смог ясно объяснить решение этой задачи. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте.