На однородный сплошной цилиндр массой м и радиусом r намотана легкая нить , к концу которой прикреплен груз массой m. в момент t=0 система пришла в движение. пренебрегая трением в оси , найдите ускорение груза и кинематическую энергию всей системы как функцию времени.
J = M*R^2/2
T - сила натяжения нити
T*R - момент этой силы
ɛ - угловое ускорение цилиндра
запишем 3 исходных уравнения :
J*ɛ = T*R - уравнение вращательного движения
ma = mg - T - уравнение движения груза на нити
a =ɛ *R - кинематическая связь
J = M*R^2/2
ɛ=а/R
T =m(g - a)
J*ɛ =M*R^2/2 * а/R =M*R*а/2 =T*R = m(g - a) *R
M*R*а/2 = m(g - a) *R
M*а = 2m(g - a)
a=2mg/(2m+M) - искомое ускорение груза
кинетическая энергия системы появляется за счет изменения потенциальной энергии опускающегося груза
поэтому
E = mgh = m*g*a*t^2/2 = m*g*2mg/(2m+M)*t^2/2 = (m*g*t)^2/(2m+M)