На гладкой горизонтальной поверхности лежит брусок массой m. В него попадает и застревает горизонтально летящая пуля массой m. Как изменится скорость бруска после удара, если массу пули увеличить в 2 раза, а скорость пули оставить без изменения?

Добрый день!

Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться законом сохранения импульса. Закон сохранения импульса гласит, что взаимодействующие тела обмениваются импульсом таким образом, что сумма импульсов до и после взаимодействия остается неизменной.

Итак, пусть до удара скорость бруска была V. Как только пуля попадает в брусок и застревает, образуется система, в которой участвует брусок с пулей. По закону сохранения импульса, сумма импульсов этой системы до и после удара должна быть одинаковой.

Импульс - это произведение массы тела на его скорость. Поэтому, если брусок до удара имел импульс P1 (масса m, скорость V) и пуля имела импульс p1 (масса m, скорость V), то суммарный импульс системы до удара равен P1 + p1.

После удара, когда пуля застряла в бруске, система состоит из бруска с пулей, обладающей увеличенной массой. Предположим, что скорость бруска после удара стала V2, а пули, которая застряла в бруске, стала V2'. Из закона сохранения импульса следует, что суммарный импульс системы после удара должен равняться суммарному импульсу до удара: P1 + p1 = P2 + p2.

Теперь нам дано, что массу пули увеличили в 2 раза, а скорость пули осталась без изменения. Это значит, что после удара масса пули станет равной 2m, а скорость пули останется V.

Теперь мы можем записать закон сохранения импульса для этой задачи:
P1 + p1 = P2 + p2,
где P1 = mV, p1 = mV, P2 = mV2, p2 = (2m)V2'.

Теперь, подставив значения в это уравнение, получим:
mV + mV = mV2 + (2m)V2',
2mV = mV2 + (2m)V2',
2V = V2 + 2V2',

Давайте избавимся от массы m, разделив обе части уравнения на m:
2V = V2 + 2V2',
2V - 2V2' = V2,
2 (V - V2') = V2.

Теперь мы должны выразить V2'.
Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия системы должна быть сохранена. Кинетическая энергия бруска до удара равна (1/2)mV^2. После удара кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии бруска (1/2)mV2^2 и кинетической энергии пули (1/2)(2m)V2'^2. Из закона сохранения энергии следует, что сумма кинетических энергий до и после удара должна быть одинаковой:
(1/2)mV^2 = (1/2)mV2^2 + (1/2)(2m)V2'^2.

Теперь давайте упростим это уравнение, используя выражение для V2' из предыдущего уравнения:
(1/2)mV^2 = (1/2)mV2^2 + (1/2)(2m)V2'^2,
mV^2 = mV2^2 + 2mV2'^2.

Теперь мы можем сократить общий множитель m:
V^2 = V2^2 + 2V2'^2.

Вернемся к нашему уравнению для V2':
2 (V - V2') = V2.

Теперь выразим V2' в этом уравнении:
2V - V2 = V2',
или
V2' = 2V - V2.

Теперь, подставим это значение для V2' в наше уравнение из сохранения энергии:
V^2 = V2^2 + 2V2'^2,
V^2 = V2^2 + 2(2V - V2)^2.

Раскроем скобки:
V^2 = V2^2 + 2(4V^2 - 4VV2 + V2^2),
V^2 = V2^2 + 8V^2 - 8VV2 + 2V2^2,
V^2 = 9V2^2 - 8VV2.

Теперь, сгруппируем все члены с V2^2 и VV2 и приведем уравнение в более компактный вид:
0 = 8V2^2 - 9V^2 + 8VV2.

Теперь выразим V2^2 из этого уравнения:
V2^2 = (9V^2 - 8VV2) / 8.

Теперь давайте несколько упростим это выражение:
V2^2 = (9/8)(V^2 - VV2).

И, наконец, выразим V2:
V2 = sqrt[(9/8)(V^2 - VV2)].

Это конечный ответ. Таким образом, скорость бруска после удара равна sqrt[(9/8)(V^2 - VV2)].