На 20 !
тонкий обруч радиусом r раскрутили до угловой скорости ω и плашмя положили на стол. коэффициент трения между обручем и столом равен μ. сколько оборотов сделает обруч до остановки?

Этот вопрос можно решить, используя законы динамики и уравнения плоского качения.

1. Установим основные параметры задачи:
- радиус обруча: r
- угловая скорость: ω
- коэффициент трения: μ

2. Представим систему в виде тел, взаимодействующих силой трения:
- обруч, который задействован в движении
- стол, на который положен обруч

3. Рассмотрим силы, действующие на обруч:
- сила трения (Fтр) - по модулю равна μ*N, где N - нормальная сила (равна весу обруча)
- тормозящий момент (Mтр) - равен Fтр*r, так как сила трения действует на радиусе r

4. Запишем уравнение моментов второго закона Ньютона для вращательного движения:
Mтр = I*α,
где I - момент инерции обруча, α - угловое ускорение обруча.

5. Момент инерции обруча равен половине произведения массы (m) на квадрат радиуса (r):
I = (1/2)*m*r².

6. Угловое ускорение обруча (α) равно изменению угловой скорости (ω) за единицу времени:
α = Δω/Δt.

7. Запишем уравнение движения обруча:
Mтр = (1/2)*m*r²*(Δω/Δt).

8. Проинтегрируем это дифференциальное уравнение для нахождения времени (t), за которое обруч остановится:
t = ∫[(1/2)*m*r²/(μ*N)]*dω.

9. Определим нормальную силу N, используя условие равновесия:
N = m*g,
где m - масса обруча, g - ускорение свободного падения.

10. Подставим значение нормальной силы в интеграл и решим его:
t = ∫[(1/2)*(m*r²)/(μ*(m*g))]*dω.

11. Интегрируемое выражение можно упростить:
t = (1/(2*μ*g))∫[r²]*dω.

12. Интеграл ∫[r²] можно вычислить, зная закон сохранения энергии:
E = (1/2)*I*ω²,
где E - полная механическая энергия обруча (по сумме кинетической и потенциальной энергии).

13. Предположим, что изначально обруч находится в покое, и его начальная угловая скорость равна 0, тогда:
Eнач = (1/2)*I*ωнач² = 0,
где ωнач - начальная угловая скорость обруча.

14. Когда обруч остановится, его угловая скорость равна 0, тогда:
Eкон = (1/2)*I*ωкон² = 0,
где ωкон - конечная угловая скорость обруча.

15. Найдем начальную и конечную угловые скорости обруча из уравнения сохранения энергии:
(1/2)*I*ωнач² = (1/2)*I*ωкон²,
ωнач² = ωкон².

16. Из условия задачи известно, что обруч радиусом r раскрутили до угловой скорости ω, поэтому можно записать соотношение:
(1/2)*I*ω² = (1/2)*I*ωкон².

17. Упростим уравнение:
(1/2)*I*ω² = (1/2)*I*ωкон²,
ω² = ωкон².

18. Получаем:
ω = ωкон.

19. Теперь можно вычислить время (t) за которое обруч остановится:
t = (1/(2*μ*g))*∫[r²]dω,
t = (1/(2*μ*g))*[r²]*ω.

Здесь мы не приводим точное значения времени, так как оно зависит от конкретных численных значений всех параметров задачи. Тем не менее, именно таким образом можно решить данную задачу.