Мячик бросают горизонтально с с такой скоростью, что радиус кривизны начального участка траектории вдвое больше высоты точки старта. во сколько раз возрастает радиус кривизны траектории за время полёта? полный ответ с решением.

В начальный момент времени скорость направлена вдоль оси x (пусть равна V), ускорение направлено вдоль оси Y, т.е. перпендикулярно скорости. То есть в все ускорение являлось нормальным ускорением:
g = V^2 / R1
R1 = V^2 / g
По условию задачи: R1 = 2H
Тогда V = sqr(R1 g) = sqr(2gH)
Вдоль оси Х не действуют силы, поэтому проекция скорости на ось Х не будет меняться.

Найдем проекцию скорости на ось У в конце пути.
Высота мячика в зависимости от времени:
Y(t) = H - (g/2) t^2
(в момент времени t=0 высота была Y(0) = H)
Найдем время to, при котором мячик упал (Y стал равен нулю):
Y(to) = 0
H - (g/2)to^2 = 0
to = sqr(2H/g)
Найдем скорость в этот момент:
Vy(t) = - gt
Vy(to) = - g sqr(2H/g) = - sqr(2gH) = -V

Т.е. в момент падения:
Vx = V
Vy = -V
значит модуль скорости равен sqr(2)V, а направлена скорость под 45 градусов к горизонту.
Тогда ось, перпендикулярная скорости, направлена под 45 градусов к горизонту.
Тогда модуль проекции ускорения на эту ось sqr(2)g - модуль нормального ускорения. Тогда:
sqr(2)g = ( sqr(2)V )^2 / R2 = 2 V^2 / R2
R2 = sqr(2) (V^2 / g)
R1 = V^2 / g
Радиус кривизны стал в sqr(2) раз больше за время полета.