1. Физика
  2. Материальная точка движется по

Материальная точка движется по закону x = 2t, y = t². Выразите зависимость радиуса кривизны траектории от времени

Marina20151111 Marina20151111    3   06.06.2021 21:58    0

Ответы
милана200229 милана200229  06.07.2021 22:00

При движении по кривой ускорение материальной точки складывается из нормальной составляющей и тангенциальной (причем они ортогональны): \vec{a}=\vec{a}_{n}+\vec{a}_{\tau}

Найдём модули всех указанных векторов.

1) \vec{a}=\{\ddot{x};\ddot{y}\}=\{0;2\}\implies a=2

2) \vec{a}_{n}=\dfrac{v^2}{R}\,\vec{n}, где R - радиус кривизны в данной точке (момент времени). Причём, \vec{v}=\{\dot{x};\dot{y}\}=\{2;2t\}=2\,\{1;t\}\implies v=2\sqrt{1+t^2}. Таким образом, a_{n}=\dfrac{v^2}{R}=\dfrac{4(1+t^2)}{R}

3) \vec{a}_{\tau}=\dot{v}\vec{\tau}\implies a_{\tau}=\dot{v}=\dfrac{2t}{\sqrt{1+t^2}}

Поскольку \vec{a}=\vec{a}_{n}+\vec{a}_{\tau} и \vec{a}_{n}\perp\vec{a}_{\tau}, то из прямоугольного треугольника на трёх указанных векторах получим:

\bigg(\dfrac{2t}{\sqrt{1+t^2}}\bigg)^2+\bigg(\dfrac{4(1+t^2)}{R}\bigg)^2=2^2

4t^2+\dfrac{16\big(1+t^2\big)^3}{R^2}=4(1+t^2)\implies R=2\big(1+t^2\big)^{\tfrac{3}{2}}

ответ. R=2\big(1+t^2\big)^{\tfrac{3}{2}}

PS. Наиболее быстро ответ можно получить с дифференциальной геометрии.

Кривизной траектории выраженной явно y=f(x) называется величина k=\dfrac{|f''|}{\big(1+(f')^2\big)^{\frac{3}{2}}}, а радиусом кривизны - величина R=\dfrac{1}{k}.

Для нашей задачи, y(x)=\dfrac{x^2}{4}. Отсюда |y''|=\dfrac{1}{2} и y'=\dfrac{x}{2}=t.

Сразу же получаем k=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\big(1+t^2\big)^{\tfrac{3}{2}}}\implies R=2\big(1+t^2\big)^{\tfrac{3}{2}}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Физика
artem874 artem874  27.09.2019 11:40
1) велосипедист, движущийся равномерно, за 5 сек. проехал 40 м. его путь за 5 минут составил : а) 1200м б) 1600м в) 2,4 км г) 1,5 км? 2) автомобиль движется со скоростью...
vgrecuha6 vgrecuha6  27.09.2019 11:40
Какое значение имеет магнитное поле для жизни на земле? что произошло бы, если бы магнитное роле земли вдруг исчезло? ,...
xrxrxrxrxr xrxrxrxrxr  27.09.2019 11:40
Q1= 1 мккл q2= -4 мккл f= 0,25h r-?...
Dii02 Dii02  27.09.2019 11:40
ответить на вопрос. в каких профессиях нужны знания ?...
bceznaika2 bceznaika2  16.03.2019 14:50
Первую половину пути автобус проехал со скоростью , в 8 раз большей, чем вторую. средняя скорость автобуса на всем пути равна 16км/ч . определите скорость автобуса на второй...
grasstv grasstv  16.03.2019 14:50
Какое кол-во теплоты получает при полном сгорании 60 кг природного газа? на сколько зимних дней хватит этого количества газа, если для обогревания комнаты в течении одного...
sgsfgff sgsfgff  16.03.2019 14:05
Если повысить температуру двух тел, как будет происходить диффузия между ними?...
Александра894312 Александра894312  16.03.2019 14:04
Чему ровна сила тока на участке цепи при прохождении заряда в 300 кл за 15 мин...
25424446645 25424446645  16.03.2019 14:50
1.каков вес сидящего за столом мальчика массой 40 кг? 2.чтобы растянуть пружину на 2см.,надо приложить силу 10н.какую силу надо приложить,чтобы растянутьт пружину на 6см?...
T0nystark T0nystark  16.03.2019 14:50
Из вертолета,летящего со скоростью 40 м/с,на высоте 500 м выброшен груз без начальной скорости относительно вертолета.на каком расстоянии по горизонтали от мест выброса...

Популярные вопросы