Дротик массой 30 г с горизонтальной скоростью
20 м/с и попадает в деревянный брусок массой 90 г, при-
креплённый к горизонтальной пружине жёсткостью 75 н/м.
Определите максимальную деформацию сжатия пружины.

Хорошо, давайте рассмотрим эту задачу подробно.

Мы будем использовать законы сохранения импульса и энергии для решения этой задачи.

Изначально, у нас есть движущийся дротик массой 30 г (или 0.030 кг) с горизонтальной скоростью 20 м/с. Дротик попадает в деревянный брусок массой 90 г (или 0.090 кг), который прикреплен к горизонтальной пружине жёсткостью 75 Н/м.

Первым шагом, давайте найдем начальную и конечную скорости системы (дротика и бруска) после удара.

Закон сохранения импульса гласит, что сумма начальных импульсов должна быть равна сумме конечных импульсов.

Масса дротика: m₁ = 0.030 кг
Скорость дротика до удара: v₁ = 20 м/с
Масса бруска: m₂ = 0.090 кг
Скорость бруска до удара: v₂ = 0 м/с (брусок покоится)

Пусть v₁' и v₂' - скорости дротика и бруска после удара, соответственно.

Из закона сохранения импульса:

m₁*v₁ + m₂*v₂ = m₁*v₁' + m₂*v₂'

Подставим известные значения:

(0.030 кг)*(20 м/с) + (0.090 кг)*(0 м/с) = (0.030 кг)*v₁' + (0.090 кг)*v₂'

0.6 кг*м/с = 0.030 кг*v₁' + 0.090 кг*v₂'

Далее, применяем законы сохранения энергии. Потенциальная энергия пружины будет преобразовываться в кинетическую энергию бруска.

Изначально, потенциальная энергия пружины равна 0, так как пружина не деформирована.

После удара, когда пружина сжимается, потенциальная энергия пружины будет превращаться в кинетическую энергию бруска. Так как брусок остановится в наиболее сжатом положении пружины, там будет достигнута максимальная деформация пружины.

Закон сохранения энергии гласит, что сумма начальной кинетической энергии и потенциальной энергии должна быть равна сумме конечной кинетической энергии и потенциальной энергии.

Начальная кинетическая энергия системы (дротика и бруска) равна:

KE₁ = (1/2)*m₁*v₁²

Потенциальная энергия системы равна:

PE = 0

Конечная кинетическая энергия системы (дротика и бруска) равна:

KE₂ = (1/2)*m₁*v₁'² + (1/2)*m₂*v₂'²

Конечная потенциальная энергия пружины равна:

PE' = (1/2)*k*x²

где k - жесткость пружины и x - максимальная деформация пружины.

Из закона сохранения энергии:

KE₁ + PE = KE₂ + PE'

Подставим известные значения и учтем, что начальная потенциальная энергия пружины равна 0:

(1/2)*m₁*v₁² = (1/2)*m₁*v₁'² + (1/2)*m₂*v₂'² + (1/2)*k*x²

0.5*(0.030 кг)*(20 м/с)² = 0.5*(0.030 кг)*v₁'² + 0.5*(0.090 кг)*v₂'² + 0.5*(75 Н/м)*x²

0.09 кг*400 м²/с² = 0.03 кг*v₁'² + 0.045 кг*v₂'² + 75 Н/м*x²

36 кг*м²/с² = 0.03 кг*v₁'² + 0.045 кг*v₂'² + 75 Н/м*x²

Теперь у нас два уравнения с двумя неизвестными: v₁' и v₂'. Мы должны их решить, чтобы найти значения этих скоростей после удара.

Воспользуемся первым уравнением из закона сохранения импульса и выразим v₁' через v₂':

0.6 кг*м/с = 0.030 кг*v₁' + 0.09 кг*v₂'

Домножим это уравнение на 10:

6 кг*м/с = 0.3 кг*v₁' + 0.9 кг*v₂'

Теперь мы можем заменить v₁' во втором уравнении из закона сохранения энергии:

36 кг*м²/с² = 0.03 кг*(0.3 кг*v₁' + 0.9 кг*v₂')² + 0.045 кг*v₂'² + 75 Н/м*x²

Выполним необходимые вычисления:

36 кг*м²/с² = 0.03 кг*(0.3 кг*v₁')² + 0.09 кг*v₁'*v₂' + 0.045 кг*v₂'² + 75 Н/м*x²

36 кг*м²/с² = 0.009 кг²*v₁'² + 0.027 кг*v₁'*v₂' + 0.045 кг*v₂'² + 75 Н/м*x²

Итак, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными v₁' и v₂'. Мы можем решить эту систему уравнений численным методом, например, методом подстановки или методом Ньютона.

Как только мы найдем значения v₁' и v₂', мы можем рассчитать максимальную деформацию сжатия пружины:

PE' = (1/2)*k*x²

Подставим известные значения:

PE' = (1/2)*(75 Н/м)*x²

PE' = 37.5 Н/м * x²

Это уравнение связывает максимальную деформацию пружины с жесткостью пружины. Мы можем найти значение x, разделив обе стороны уравнения на 37.5 Н/м и вычислив квадратный корень.

Таким образом, мы использовали законы сохранения импульса и энергии, а также численные методы, чтобы найти значения скоростей после удара и максимальную деформацию сжатия пружины в данной задаче.