Четыре груза весом 250 Н каждый закреплены на крестообразном маятнике на расстоянии 20 см от оси вращения и приводятся во вращение посредством гири весом 900 Н. Гиря привязана к концу веревки, намотанной на находящийся на той же оси шкив радиусом 10 см и падает под действием собственного веса. Через сколько времени скорость вращения маятника достигнет 540 об/мин? Какую скорость будет иметь гиря, когда она опускается на 2,5 м?
В данной задаче у нас есть маятник, состоящий из четырех грузов и гири. Гиря связана с одним из грузов веревкой, которая намотана на шкив.
Для начала, нам нужно определить момент инерции маятника. Момент инерции маятника определяется как сумма моментов инерции каждого груза. Формула для момента инерции груза относительно оси вращения имеет вид I = m*r^2, где m - масса груза, r - расстояние от груза до оси вращения.
Так как все грузы имеют одинаковый вес (250 Н), значит, они имеют одинаковую массу. Масса груза можно найти, разделив его вес на ускорение свободного падения (g), так как вес груза равен m*g. Подставляя значения в формулу, получаем m = 250/9.8 ≈ 25.51 кг.
Теперь мы можем рассчитать момент инерции маятника. Так как грузы закреплены на расстоянии 20 см от оси вращения, расстояние (r) в формуле момента инерции будет равно 0.2 м. Так как у нас четыре груза, мы должны умножить момент инерции одного груза на количество грузов: I_грузов = 4*m*r^2 = 4*25.51*(0.2)^2 ≈ 2.042 кг∙м^2.
Теперь мы можем рассчитать момент инерции гири, которая приводит маятник во вращение. Момент инерции гири можно найти, используя формулу I = m*r^2, где m - масса гири, r - радиус шкива. Массу гири можно найти, разделив ее вес на ускорение свободного падения (g), так как вес гири равен m*g. Значение g ≈ 9.8 м/с^2.
900 Н - это вес гири, поэтому m = 900/9.8 ≈ 91.84 кг. Радиус шкива равен 0.1 м. Подставляя значения в формулу, получаем I_гири = m*r^2 = 91.84*(0.1)^2 ≈ 0.918 кг∙м^2.
Для определения времени, через которое скорость вращения маятника достигнет значения 540 об/мин (ω), мы можем воспользоваться законом сохранения момента импульса:
I_гири * ω_гири = I_грузов * ω_грузов,
где ω_гири и ω_грузов - скорости вращения гири и грузов соответственно.
Мы знаем, что начальная скорость вращения гири равна 0, так как она начинает падать под действием собственного веса. Момент инерции гири и грузов мы уже рассчитали. Также нам дано значение скорости вращения грузов (540 об/мин). Чтобы перейти от единиц об/мин к рад/с, необходимо умножить на (2π/60). Подставляя значения в уравнение, получаем:
0.918 * ω_гири = 2.042 * 4 * (540/60) * (2π/60).
Упрощая выражение, получаем:
ω_гири ≈ (2.042 * 4 * (540/60) * (2π/60)) / 0.918.
Раскрывая скобки и упрощая, получаем:
ω_гири ≈ 295.4 рад/с.
Теперь, мы можем рассчитать время, через которое скорость гири достигнет значения 295.4 рад/с. Мы знаем, что скорость (v) определяется как v = ω*r, где ω - угловая скорость, r - радиус шкива (0.1 м). Подставляя значения, получаем:
v = 295.4 * 0.1 ≈ 29.54 м/с.
Наконец, чтобы найти время (t), через которое гиря опустится на 2.5 м, мы можем воспользоваться законом сохранения механической энергии:
m*g*h = (1/2)*m*v^2 + m*g*d,
где m - масса гири, g - ускорение свободного падения, h - высота подъема гири, v - ее скорость в точке опускания, d - путь опускания.
Выразим время (t) из уравнения. У нас есть известные значения: m = 91.84 кг, g ≈ 9.8 м/с^2, h = 0 (так как гиря опускается), v ≈ 29.54 м/с (мы рассчитали ранее), d = 2.5 м. Подставляя значения в уравнение, получаем:
t = √(2*(d - h) / g).
Подставляя значения, получаем:
t = √(2*(2.5 - 0) / 9.8) ≈ √(0.5102) ≈ 0.71 сек.
Таким образом, время, через которое скорость вращения маятника достигнет 540 об/мин, примерно равно 0.71 секунд. Скорость гири, когда она опускается на 2.5 м, примерно равна 29.54 м/с.